人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例学案及答案

这是一份人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例学案及答案，共4页。学案主要包含了课前准备，新课导学，总结提升等内容，欢迎下载使用。

学习目标
1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；
2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
复习1：函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________
复习2：函数在上的最大值为_____；最小值为_______.
二、新课导学
学习探究
探究任务一：优化问题
问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为，写出贷款量及他应支付的利息；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？
新知：
生活中经常遇到求 、 、
等问题，这些问题通常称为优化问题.
试试：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
反思：利用导数解决优化问题的实质是 .
典型例题
例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为，上、下两边各空，左、右两边各空.如何设计海报的尺寸，才能使四周
空白面积最小？




变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ，为使所用材料最省，底宽应为多少？
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单

动手试试
练1. 一条长为100的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
练2. 周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.
三、总结提升
学习小结
1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.
2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.
知识拓展
牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.
学习评价
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（ ）
A．100 B．150 C．200 D．300
2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A． B． C． D.
3. 若一球的半径为，则内接球的圆柱的侧面积最大为（ ）
A． B． C． D．
4. 球的直径为，当其内接正四棱柱体积最大时的高为 .
5. 面积为的矩形中，其周长最小的是 .
课后作业
1. 一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.
(1)试把方盒的容积表示为的函数.(2)多大时，方盒的容积最大？
2. 在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？