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    高二新课程数学《2.3.1数学归纳法》评估训练(新人教A版)选修2-2

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    高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法一课一练

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法一课一练,共5页。试卷主要包含了3 数学归纳法等内容,欢迎下载使用。
    第1课时 数学归纳法
    eq \a\vs4\al\c1(双基达标 限时20分钟)
    1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取
    ( ).
    A.2 B.3 C.5 D.6
    解析 当n取1、2、3、4时2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个能使2n>n2+1的n值为5,故选C.
    答案 C
    2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=eq \f(n+3n+4,2)(n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是
    ( ).
    A.1 B.1+2
    C.1+2+3 D.1+2+3+4
    解析 等式左边的数是从1加到n+3.
    当n=1时,n+3=4,故此时左边的数为从1加到4.
    答案 D
    3.设f(n)=1+eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+…+eq \f(1,3n-1)(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于
    ( ).
    A.eq \f(1,3n+2) B.eq \f(1,3n)+eq \f(1,3n+1)
    C.eq \f(1,3n+1)+eq \f(1,3n+2) D.eq \f(1,3n)+eq \f(1,3n+1)+eq \f(1,3n+2)
    解析 ∵f(n)=1+eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+…+eq \f(1,3n-1),
    ∵f(n+1)=1+eq \f(1,2)+eq \f(1,3)+…+eq \f(1,3n-1)+eq \f(1,3n)+eq \f(1,3n+1)+eq \f(1,3n+2),
    ∴f(n+1)-f(n)=eq \f(1,3n)+eq \f(1,3n+1)+eq \f(1,3n+2).
    答案 D
    4.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.
    答案 1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
    5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.
    解析 由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.
    答案 π
    6.用数学归纳法证明:
    eq \f(1,1×2)+eq \f(1,3×4)+…+eq \f(1,2n-1·2n)=eq \f(1,n+1)+eq \f(1,n+2)+…+eq \f(1,n+n).
    证明 (1)当n=1时,左边=eq \f(1,1×2)=eq \f(1,2),右边=eq \f(1,2),等式成立.
    (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即
    eq \f(1,1×2)+eq \f(1,3×4)+…+eq \f(1,2k-1·2k)=eq \f(1,k+1)+eq \f(1,k+2)+…+eq \f(1,2k).
    则当n=k+1时,
    eq \f(1,1×2)+eq \f(1,3×4)+…+eq \f(1,2k-1·2k)+eq \f(1,2k+12k+2)
    =eq \f(1,k+1)+eq \f(1,k+2)+…+eq \f(1,2k)+eq \f(1,2k+12k+2)
    =eq \f(1,k+2)+eq \f(1,k+3)+…+eq \f(1,2k)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2k+1)-\f(1,2k+2)))+eq \f(1,k+1)
    =eq \f(1,k+2)+eq \f(1,k+3)+…+eq \f(1,2k)+eq \f(1,2k+1)+eq \f(1,2k+2)
    =eq \f(1,k+1+1)+eq \f(1,k+1+2)+…+eq \f(1,k+1+k)+eq \f(1,k+1+k+1).即当n=k+1时,等式成立.
    根据(1)(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.
    eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
    7.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有
    ( ).
    A.命题对所有正整数都成立
    B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
    C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
    D.以上说法都不正确
    解析 由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
    答案 C
    8.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从n=k到n=k+1,左边增加的代数式为
    ( ).
    A.2k+1 B.2(2k+1)
    C.eq \f(2k+1,k+1) D.eq \f(2k+3,k+1)
    解析 n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(2k);n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(2k+2)=2(k+1)(k+2)…(2k)(2k+1),故选B.
    答案 B
    9.分析下述证明2+4+…+2n=n2+n+1(n∈N+)的过程中的错误:
    证明 假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即2+4+…+2k=k2+k+1,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何n∈N+等式都成立.__________________.
    答案 缺少步骤归纳奠基,实际上当n=1时等式不成立
    10.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是________.
    解析 当n=k时,左端为:(1+1)(2+2)…(k+k),
    当n=k+1时,
    左端为:(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),
    由k到k+1需添加的因式为:(2k+2).
    答案 2k+2
    11.用数学归纳法证明
    12+22+…+n2=eq \f(nn+12n+1,6)(n∈N*).
    证明 (1)当n=1时,左边=12=1,
    右边=eq \f(1×1+1×2×1+1,6)=1,
    等式成立.
    (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即
    12+22+…+k2=eq \f(kk+12k+1,6)
    那么,
    12+22+…+k2+(k+1)2
    =eq \f(kk+12k+1,6)+(k+1)2
    =eq \f(kk+12k+1+6k+12,6)
    =eq \f(k+12k2+7k+6,6)
    =eq \f(k+1k+22k+3,6)
    =eq \f(k+1[k+1+1][2k+1+1],6),
    即当n=k+1时等式也成立.
    根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.
    12.(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+eq \f(1,an),用数学归纳法证明:an=eq \r(n)-eq \r(n-1).
    证明 (1)当n=1时.
    a1=S1=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1+\f(1,a1))),
    ∴aeq \\al(2,1)=1(an>0),
    ∴a1=1,又eq \r(1)-eq \r(0)=1,
    ∴n=1时,结论成立.
    (2)假设n=k(k∈N*)时,结论成立,
    即ak=eq \r(k)-eq \r(k-1).
    当n=k+1时,
    ak+1=Sk+1-Sk
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ak+\f(1,ak)))
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(k)-\r(k-1)+\f(1,\r(k)-\r(k-1))))
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq \r(k)
    ∴aeq \\al(2,k+1)+2eq \r(k)ak+1-1=0,解得ak+1=eq \r(k+1)-eq \r(k)(an>0),
    ∴n=k+1时,结论成立.
    由(1)(2)可知,对n∈N*都有an=eq \r(n)-eq \r(n-1).

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