高中数学人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念综合训练题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念综合训练题，

1.5　定积分的概念1．5.1　曲边梯形的面积1．5.2　汽车行驶的路程1．5.3　定积分的概念eq \a\vs4\al\co1(双基达标　限时20分钟)1．函数f(x)＝x2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上，(　　)．A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析　当n很大时，区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))的长度eq \f(1,n)越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.答案　D2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可以用下列哪个值近似代替(　　)．A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n))) B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n))) C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n))) D．f(0)解析　当n很大时，f(x)＝x2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C.答案　C3．已知定积分∫60f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则∫6－6f(x)dx＝(　　)．A．0 B．16 C．12 D．8解析　偶函数图象关于y轴对称，故，故选B.答案　B4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．答案　5．若，则 eq \o(lim,\s\do14(n→∞)) eq \i\su(i＝1,n,f)(ξi)eq \f(b－a,n)＝________.解析　由定积分的定义可得．答案　66．利用定积分定义计算∫10x3dx.解　(1)分割：0<eq \f(1,n)<eq \f(2,n)<…<eq \f(n－1,n)<eq \f(n,n)＝1.(2)求和：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))3·eq \f(1,n)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))3·eq \f(1,n)＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))3·eq \f(1,n)＝eq \i\su(i＝1,n, )eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·eq \f(1,n).(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)(3)取极限： eq \o(lim,\s\do14(n→∞))eq \i\su(i＝1,n,i)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·eq \f(1,n)＝ eq \o(lim,\s\do14(n→∞)) eq \f(1,n4)eq \i\su(i＝1,n,i)3＝ eq \o(lim,\s\do14(n→∞)) eq \f(1,n4)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq \f(1,4).此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此∫10x3dx＝eq \f(1,4).eq \a\vs4\al\co1(综合提高　限时25分钟)7．下列等式成立的是(　　)．解析　由定积分的几何意义，选C.答案　C8．下列式子中不成立的是(　　)．解析　分析被积函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立，故选C.答案　C9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则的值为________．解析　因为定积分与符号无关，所以.答案　010．利用定积分的几何意义计算eq \i\in(1,3,)(x＋2)dx的值是________．解析　由定积分的几何意义知eq \i\in(1,3,)(x＋2)dx就是如图所示阴影部分的面积．答案　811．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？解　将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))，在第i个时间段的路程近似为Δsi＝veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))Δt＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq \f(1,n)，i＝1,2，…，n.所以sn＝eq \i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq \i\su(i＝1,n, )eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq \f(1,n)＝－eq \f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq \f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＝－eq \f(1,n3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n2n＋14n＋1,6)－\f(nn＋12n＋1,6)))＋eq \f(2,n2)·eq \f(nn＋1＋2n,2)＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq \f(1,n)，s＝Sn＝ －eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq \f(1,6)1＋eq \f(1,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq \f(1,n)＝eq \f(2,3)，所以这段时间行驶的路程为eq \f(2,3) km.12．(创新拓展)求直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝4x2＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积．解　(1)分割：将[0,2] n等分，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2i－1,n)，\f(2i,n)))(i＝1,2，…，n)的区间长度Δx＝eq \f(2,n)，原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示．(2)用feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2i－1,n)))作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积．(3)n个小矩形面积之和Sn＝eq \i\su(i＝1,n,f)[eq \f(2i－1,n)]Δx＝eq \i\su(i＝1,n,[)eq \f(16i－12,n2)＋eq \f(4i－1,n)＋1]eq \f(2,n)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,n2)[12＋22＋…＋n－12]＋\f(4,n)[1＋2＋…＋n－1]＋n))eq \f(2,n)＝eq \f(32,n3)·eq \f(1,6)n(n－1)(2n－1)＋eq \f(8,n2)·eq \f(1,2)n(n－1)＋2＝eq \f(16,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,n)))＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋2(4)所求曲边梯形面积S＝ eq \o(lim,\s\up6(,n→∞))Sn＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,n)))＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋2))＝eq \f(16,3)(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝eq \f(32,3)＋6＝eq \f(50,3).