高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计

1．3．2   函数的极值与导数(1)

一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.

二、教学重点：求函数的极值.

教学难点：严格套用求极值的步骤.

三、教学过程：

（一）函数的极值与导数的关系

1、观察下图中的曲线

a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．

2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，

思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点

处的函数值，比较有什么特点?

（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，

我们说 f(0) 是函数的一个极大值；

（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，

则f(2)是函数的一个极小值．

函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)；    一个极小值: f (2)．

函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )；  一个极小值点: ( 2， f (2) )．

3、极值的概念：

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)

我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作  y极大值＝f(x0)；

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f (x0)

我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．

极大值与极小值统称为极值．

4、观察下图中的曲线

考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．

上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，

极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．

函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．

函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．

函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．

5、利用导数判别函数的极大（小）值：

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：

⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；

⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；

思考：导数为0的点是否一定是极值点？

导数为0的点不一定是极值点．

如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．

例1求函数

解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y＝0，解得 x1＝－2，x2＝2．

当x变化时，y，y的变化情况如下表．

因此，当x＝－2时， y极大值＝ ，当x＝2时，y极小值＝－．

求可导函数f (x)的极值的步骤：

⑴ 求导函数f (x)；

⑵ 求方程 f (x)＝0的根；

⑶ 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．

例2．求函数的极值

例3 求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．

解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y，y的变化情况如下表：

当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．

例4．的极值

例5．的极值

思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？

练习：求函数的极值

（三）课堂小结

1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.

（四）课后作业