2020-2021学年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校八年级（上）期末数学复习试卷

这是一份2020-2021学年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校八年级（上）期末数学复习试卷，共37页。试卷主要包含了下列因式分解结果正确的是，化简等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校八年级（上）期末数学复习试卷
一．选择题（共14小题）
1．下面每个选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（　　）
A．%% B．∵∴ C．≤≥ D．@@
2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001s用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.1×10﹣8s B．0.1×10﹣9s C．1×10﹣9s D．1×10﹣10s
3．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（　　）
A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm
4．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2 B．x2+4＝（x+2）2
C．x2﹣2＝（x+2）（x﹣2） D．（a﹣1）2﹣（2a﹣3）＝（a﹣2）2
5．等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点，AB＝6，CA＝CB＝5，把等腰△ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是（　　）

A．123 B．125 C．126 D．131
6．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，则c的值可以为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如果多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．10 B．20 C．﹣20 D．±20
8．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
11．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
12．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（　　）
A．70° B．55°或70° C．40°或70° D．55°
13．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
14．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
二．填空题（共10小题）
15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于　 　．

16．若分式的值为0，则x＝　 　．
17．分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2＝　 　．
18．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　 　．

19．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝　 　．
20．一艘船顺流航行n千米用了m小时，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行t小时走的路程是　 　千米．
21．如图，点C是∠AOB外一点，分别作点C关于边OA，OB的对称点D，E．直线DE分别与OA，OB交于点G，F，若∠DGO＝40°，∠EFO＝70°，则∠DCE的度数是　 　．

22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，且AC+CD＝BD，若BD＝6，则CD＝　 　．

23．已知a+＝3，则a2+的值是　 　．
24．关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　 　．
三．解答题（共9小题）
25．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝2α．
（1）如图1，∠ABG＝∠BCG，则∠G＝　 　．（用α表示）
（2）如图2，点E，M分别为BC、AC上的点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝2∠CFE＝2α，求的值．
（3）如图3，CD为AB边上的高，∠ACD的平分线CP交AB于P，过P作PH⊥BC于H，PH与CD交于点Q，连接BQ．若PD＝a，BD＝b，请直接用含有a，b的代数式表示△BQC的面积为　 　．

26．已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为　 　．
（2）如图2，点D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于G，GH⊥AC于H，当点D在BC边上移动时，请判断线段AH，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点D在BC延长线上，连接AD，E为AD上一点，AE＝AC，连接BE交AC于F，若AF＝2ED＝3，则线段CF的长为　 　．

27．（1）计算：a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2；
（2）解方程：＝﹣1．
28．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣8＝0．
29．2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
30．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料．
31．甲和乙均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子．
（1）如图1，甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是　 　分米；这个盒子的表面积是　 　平方分米．（用含有a，V的式子表示）
（2）如图2，乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米．当V＝90时，选用2元/平方分米的材料制作甲和乙两个盒子的底面，乙盒子底面制作费用是甲盒子底面制作费用的2倍，求乙盒子的高．（列分式方程求解）
（3）在（2）的条件下，若甲盒子侧面制作材料的费用为0.5元/平方分米，则甲盒子的制作费用是　 　元．

32．已知，D为等边△ABC的边BC上一点，点E在射线AD上，连接BE，CE．
（1）如图1，点E在线段AD上，CE平分∠ACB，求证：AE＝BE；
（2）∠CED＝60°；
①如图2，点E在线段AD的延长线上，求∠BED的度数；
②如图3，点E在线段AD上，AE＝2CE，求∠BED的度数．

33．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．


2020-2021学年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校八年级（上）期末数学复习试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下面每个选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（　　）
A．%% B．∵∴ C．≤≥ D．@@
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠能与另一个图形重合，这两个图形关于这条直线成轴对称进行分析即可．
【解答】解：A、不成轴对称，故此选项错误；
B、不成轴对称，故此选项错误；
C、成轴对称，故此选项正确；
D、不成轴对称，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称，关键是掌握轴对称的概念．
2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001s用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.1×10﹣8s B．0.1×10﹣9s C．1×10﹣9s D．1×10﹣10s
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 0001s＝1×10﹣10s．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（　　）
A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm
【分析】分14cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①14cm是腰长时，底边为：30﹣14×2＝2cm，
三角形的三边长分别为14cm、14cm、2cm，
能组成三角形，
②14cm是底边长时，腰长为：×（30﹣14）＝8cm，
三角形的三边长分别8cm、8cm、14cm，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是14cm或8cm
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
4．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2 B．x2+4＝（x+2）2
C．x2﹣2＝（x+2）（x﹣2） D．（a﹣1）2﹣（2a﹣3）＝（a﹣2）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义即可求解．
【解答】解：A、x2﹣4x+1，不能不能进行因式分解，故不符合题意；
B、x2+4不能不能进行因式分解，故不符合题意；
C、x2﹣2＝（x+）（x﹣），故不符合题意；
D、（a﹣1）2﹣（2a﹣3）＝（a﹣2）2故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，关键是掌握因式分解的定义．
5．等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点，AB＝6，CA＝CB＝5，把等腰△ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是（　　）

A．123 B．125 C．126 D．131
【分析】根据题意可知每翻折三次与初始位置的形状相同，利用此规律解决问题即可．
【解答】解：由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，
翻转3次后C点的纵坐标不变，横坐标的变化为：6+5+5+3＝19，
23÷3＝7余数为2，
故第23次翻转后点C的横坐标是：6+（6+5+5）×7+5＝123，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等腰三角形的性质，解题的关键是发现其中的规律，每旋转三次为一个循环．
6．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，则c的值可以为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
【解答】解：由题意得，a﹣5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝5，b＝3，
∵5﹣3＝2，5+3＝8，
∴2＜c＜8，
∴c的值可以为7．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
7．如果多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．10 B．20 C．﹣20 D．±20
【分析】由4a2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m的值．
【解答】解：∵4a2+ma+25是完全平方式，
∴4a2+ma+25＝（2a±5）2＝4a2±20a+25，
∴m＝±20．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故①正确
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴BP＝2PQ．故③正确，
∵AC＝BC．AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE+BD＝AE+EC＝AC＝AB，故④正确，
无法判断BQ＝AQ，故②错误，
故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
11．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两直角边对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．两锐角对应相等
D．一个锐角和斜边对应相等
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、正确．根据SAS即可判断．
B、正确．根据HL即可判断．
C、错误．两锐角对应相等不能判断两个三角形全等．
D．正确．根据AAS即可判断．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
12．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（　　）
A．70° B．55°或70° C．40°或70° D．55°
【分析】由于已知不明确此110°的外角的邻补角是等腰三角形的顶角还是底角，故应分两种情况讨论．
【解答】解：当三角形此外角的邻补角是等腰三角形的底角时，则此等腰三角形底角的度数是180°﹣110°＝70°；
当三角形此外角的邻补角是等腰三角形的顶角时，则此等腰三角形底角的度数是110°÷2＝55°．
故此等腰三角形底角的度数可能是70°或55°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，邻补角的性质，难易适中．分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
13．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB＝OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值＝2+BC＝5．
【解答】解：如图，连接BD，OB，

∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB＝OD，
∵AD＝1，AC＝3，
∴CD＝2，
∵△OCD周长＝CD+OD+OC＝2+BO+OC，
∴当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值＝2+BC＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
14．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（　　）

A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，进而得出结论．
【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC．
在△CEG和△CBH中，
，
∴△CEG≌△CBH（ASA），
∴CG＝CH，GE＝HB，
∴△CGH为等边三角形，
∴∠GHC＝60°，
∴∠GHC＝∠BCH，
∴GH∥AB．
∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD，
∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°．
∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60°
∴∠DCH≠∠DHC，
∴CD≠DH，
∴AD≠DH．
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二．填空题（共10小题）
15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于　28　．

【分析】延长AD交BC于E，由AAS证明△ABD≌△EBD，得出AD＝ED，得出△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，即可得出结果．
【解答】解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝30，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝58﹣30＝28，
故答案为28．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AD＝ED是解决问题的关键．
16．若分式的值为0，则x＝　﹣1　．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值是0的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
17．分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2＝　xy2（y﹣3）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy2（y2﹣6y+9）＝xy2（y﹣3）2，
故答案为：xy2（y﹣3）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　8　．

【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8．
故答案为：8．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
19．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝　19　．
【分析】把a+b＝5两边完全平方后，再把ab＝3整体代入解答即可．
【解答】解：把知a+b＝5两边平方，
可得：a2+2ab+b2＝25，
把ab＝3代入得：a2+b2＝25﹣6＝19，
故答案为：19．
【点评】此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．
20．一艘船顺流航行n千米用了m小时，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行t小时走的路程是　　千米．
【分析】根据题意，可以相应的代数式表示出这艘船逆流航行t小时走的路程．
【解答】解：由题意可得，
这艘船逆流航行t小时走的路程是：＝（千米），
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
21．如图，点C是∠AOB外一点，分别作点C关于边OA，OB的对称点D，E．直线DE分别与OA，OB交于点G，F，若∠DGO＝40°，∠EFO＝70°，则∠DCE的度数是　30°　．

【分析】利用轴对称的性质和三角形内角和定理进行求角度大小．
【解答】解：连接GC．
∵点C和点D关于OA对称，
点C和点E关于OB对称
∴直线OA、OB分别是CD、CE的中垂线，
∴GC＝GD，FC＝FE，
∴∠CGO＝∠DGO＝40°，∠CFO＝∠EFO＝70°，∠CGE＝∠CGO+∠DGO＝80°，
∴∠GCD＝∠GDC＝50°，∠FCE＝∠FEC＝20°，
∴∠GCE＝180°﹣∠E﹣∠CGE＝180°﹣20°﹣80°＝80°，
∴∠DCE＝∠GCE﹣∠GCD＝80°﹣50°＝30°
故答案为30°．

【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，且AC+CD＝BD，若BD＝6，则CD＝　2　．

【分析】在DB上取一点E使得DE＝DC，因为AD⊥EC，所以AE＝AC，因为AC+CD＝BD得AE＝BE，再证明AE＝EC，则可得出答案．
【解答】解：在DB上取一点E使得DE＝DC，
∵AD⊥BC，
∴AE＝AC，
∵AC+CD＝BD，BD＝BE+ED，
∴AC＝BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠C，
∴EA＝EC，
∴AE＝BE＝CE＝AC，
∵BD＝6，
∴BE+DE＝CE+DE＝2CD+CD＝6，
∴CD＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、同角的余角相等等知识，添加辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
23．已知a+＝3，则a2+的值是　7　．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：∵a+＝3，
∴a2+2+＝9，
∴a2+＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．
24．关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣4　．
【分析】先求得x的值，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：解方程＝3，得x＝m+6，
∵关于x的方程＝3的解是正数，
∴m+6＞0，
∴m＞﹣6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴m+6≠2，
∴m≠﹣4，
∴m的取值范围是m＞﹣6且m≠﹣4；
故答案为m＞﹣6且m≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
25．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝2α．
（1）如图1，∠ABG＝∠BCG，则∠G＝　90°+α　．（用α表示）
（2）如图2，点E，M分别为BC、AC上的点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝2∠CFE＝2α，求的值．
（3）如图3，CD为AB边上的高，∠ACD的平分线CP交AB于P，过P作PH⊥BC于H，PH与CD交于点Q，连接BQ．若PD＝a，BD＝b，请直接用含有a，b的代数式表示△BQC的面积为　ab+b2　．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α，由三角形的内角和定理可求解；
（2）如图2，在BF上取BK＝AF，连接AK，推出∠EAC＝∠FBA，根据全等三角形的性质得到S△ABK＝S△ACF，∠AKB＝∠AFC，证得△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF＝FK，即可求解；
（3）由“AAS”可证△BPH≌△QCH，可得QC＝BP＝a+b，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α，
∵∠ABG＝∠BCG，∠ABG+∠GBC＝∠ABC，
∴∠GBC+∠BCG＝90°﹣α，
∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠BCG）＝90°+α，
故答案为：90°+α；
（2）如图2，在BF上取BK＝AF，连接AK，

∵∠BFE＝∠BAF+∠ABF，
∵∠BFE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠EAC＝∠BAF+ABF，
∴∠EAC＝∠FBA，
在△ABK与△ACF中，
，
∴△ABK≌△ACF（SAS），
∴S△ABK＝S△ACF，∠AKB＝∠AFC，
∵∠BFE＝2∠CFE，
∴∠BFE＝2∠AKF，
∵∠BFE＝2∠AKF＝∠AKF+KAF，
∴∠AKF＝∠KAF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴AF＝FK，
∴BK＝AF＝FK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∵S△ABF＝S△ABK+S△AFK＝2S△ABK＝2S△ACF，
∴＝2；
（3）如图3中，

∵CD⊥AB，PH⊥BC，
∴∠CDB＝∠QHB＝90°，
∴∠BPH+∠PBH＝90°＝∠PBH+∠DCB，
∴∠DCB＝∠BPH＝90°﹣∠PBH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵PC平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴90°＝2α+2∠PCD，
∴α+∠PCD＝45°，
∴∠BCD+∠PCD＝∠PCH＝45°，
∴∠HCP＝∠PCH＝45°，
∴PH＝HC，
在△BPH和△QCH中，
，
∴△BPH≌△QCH（ASA），
∴QC＝BP，
∴QC＝BD+DP＝a+b，
∴△BQC的面积＝CQ×BD＝（a+b）b＝ab+b2，
故答案为：ab+b2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD的度数为　120°或75°或30°或15°　．
（2）如图2，点D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于G，GH⊥AC于H，当点D在BC边上移动时，请判断线段AH，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点D在BC延长线上，连接AD，E为AD上一点，AE＝AC，连接BE交AC于F，若AF＝2ED＝3，则线段CF的长为　　．

【分析】（1）如图1中，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可．
（2）结论：AC+CD＝2AH．如图2中，连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，利用全等三角形的性质证明AH＝DN，CH＝CN即可解决问题．
（3）如图3中，在BC上截取BG＝CF，则CG＝AF＝3，过点D作QH∥AB，分别交AC，BE的延长线于Q，H．想办法证明△ABF≌△QHF（AAS），推出AF＝FQ，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．

当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．
当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．
当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，
综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．
故答案为120°或75°或30°或15°．

（2）结论：AC+CD＝2AH．

理由：如图2中，连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BQ＝BD，
∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC，
∴∠BQD＝60°，
∴∠AQD＝120°，
∵CG是∠ACB的外角平分线，
∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°，
∵∠ADG＝60°，
∴∠ADB+∠GDC＝120°，
∵∠QAD+∠ADB＝120°，
∴∠QAD＝∠CDG，
∴△AQD≌△DCG（ASA），
∴AD＝DG，
∵∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AG＝DG，
∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM，
∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°，
∵CG＝CG，
∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN，
∴CH＝CN，AH＝DN，
∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH．

（3）如图3中，在BC上截取BG＝CF，则CG＝AF＝3，过点D作QH∥AB，分别交AC，BE的延长线于Q，H．

∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵QH∥AB，
∴∠ABE＝∠H，
∵∠AEB＝∠DEH，
∴∠H＝∠DEH，
∴DE＝DH＝1.5，设AB＝BC＝AC＝m，
∵△ABG≌△BCF（SAS），
∴∠BAG＝∠CBF，设∠BAG＝∠CBF＝x，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝60°﹣x，
∴∠BAE＝180°﹣2（60°﹣x）＝60°+2x，
∴∠DAG＝∠DGA＝60°+x，
∴DA＝DG＝m+1.5，
∴CD＝m﹣1.5＝CQ＝DQ，
∴QH＝QD+DH＝m，
∴QH＝AB，
∵∠AFB＝∠QFH，∠BAF＝∠Q，
∴△ABF≌△QHF（AAS），
∴AF＝FQ，
∴3＝m﹣3+m﹣1.5，
∴m＝，
∴CF＝．
故答案为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．（1）计算：a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2；
（2）解方程：＝﹣1．
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除即可得；
（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得．
【解答】解：（1）原式＝a﹣2b2•a﹣6b6÷a﹣8
＝a﹣8b8÷a﹣8
＝b8；

（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算与解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
28．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣8＝0．
【分析】先把分式通分，再把分子分母因式分解，约分即可，根据x2+2x﹣8＝0求得分式的值即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
∵x2+2x﹣8＝0，
∴x2+2x＝8，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值以及完全平方公式，还涉及因式分解，掌握运算法则是解题的关键．
29．2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
【分析】（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，根据题意可得，高铁走（1026﹣81）千米比普快走1026千米时间减少了9小时，据此列方程求解；
（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．
【解答】解：（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得，﹣＝9，
解得：x＝72，
经检验，x＝72是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x＝180，
答：高铁列车的平均时速为180千米/小时；

（2）630÷180＝3.5，
则坐车共需要3.5+1.5＝5（小时），
王老师到达会议地点的时间为13点40．
故他能在开会之前到达．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
30．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料．
【分析】设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，
根据题意，得＝，
解得：x＝120．
经检验，x＝120是所列方程的解．
当x＝120时，x+30＝150．
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料．
【点评】本题考查了分式方程的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
31．甲和乙均是容积为V立方分米无盖的长方体盒子．
（1）如图1，甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是　　分米；这个盒子的表面积是　（a2+）　平方分米．（用含有a，V的式子表示）
（2）如图2，乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米．当V＝90时，选用2元/平方分米的材料制作甲和乙两个盒子的底面，乙盒子底面制作费用是甲盒子底面制作费用的2倍，求乙盒子的高．（列分式方程求解）
（3）在（2）的条件下，若甲盒子侧面制作材料的费用为0.5元/平方分米，则甲盒子的制作费用是　78　元．

【分析】（1）根据立方体的体积公式即可表示盒子的高，进而可以表示盒子的表面积；
（2）根据乙盒子底面制作费用是甲盒子底面制作费用的2倍列方程即可求解；
（3）根据立方体的表面积乘以每平方分米的费用即可求出甲盒子的制作费用．
【解答】解：（1）∵容积为V立方分米，底面是边长为a分米的正方形，
∴盒子的高为分米；
∴盒子的表面积为：
a2+4（a•）＝a2+（平方分米）．
故答案为：，a2+；
（2）设乙盒子的高为x分米，则甲盒子高为（x+5）分米．
根据题意，得：
×2＝
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乙盒子的高为5分米．
（3）由（2）得，甲盒子的高为10分米，
∴10a2＝90，解得a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴甲盒子的制作费用为：
32×2+×0.5＝78元．
故答案为78．
【点评】本题考查了几何体的表面积、认识立体图形、分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意列式或方程．
32．已知，D为等边△ABC的边BC上一点，点E在射线AD上，连接BE，CE．
（1）如图1，点E在线段AD上，CE平分∠ACB，求证：AE＝BE；
（2）∠CED＝60°；
①如图2，点E在线段AD的延长线上，求∠BED的度数；
②如图3，点E在线段AD上，AE＝2CE，求∠BED的度数．

【分析】（1）证明△ACE≌△BCE（SAS）即可解决问题．
（2）①延长EC至点F，使EF＝AE，则△AEF为等边三角形，再证明△ABE≌△ACF（SAS），即可求解；
②如图3中，延长CE交AB于K，在CK的延长线上取一点M，使得EM＝EA，连接BM，在ME上截取MJ＝，使得MJ＝BM，连接BJ．想办法证明∠MBE＝90°，BM∥AD即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴CB＝CA，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE＝EB．

（2）①解：如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
延长EC至点F，使EF＝AE，
而∠AEC＝60°，故△AEF为等边三角形，
故∠EAF＝60°＝∠F，AE＝AF，
∵∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
而AB＝AC，AF＝AE，
故△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BDE＝∠BEA＝∠F＝60°；

②解：如图3中，延长CE交AB于K，在CK的延长线上取一点M，使得EM＝EA，连接BM，在ME上截取MJ，使得MJ＝BM，连接BJ．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵EA＝EM，∠AEM＝∠CED＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE，∠MAE＝∠BAC，
∴∠MAB＝∠EAC，
∴△MAB≌△EAC（SAS），
∴BM＝EC，∠AMB＝∠AEC＝120°，
∴∠BMA+∠MAD＝180°，
∴BM∥AD，
∵AE＝2EC，EM＝AE，
∴EM＝2BM，
∵MJ＝JE，
∴BM＝MJ，
∴∠AME＝∠BME＝60°，
∴△BMJ是等边三角形，
∴BJ＝JM＝JE，
∴∠MBE＝90°，
∵BM∥AD，
∴∠BED＝∠MBE＝90°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
33．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．

【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可解决问题．
（2）如图2中，作CH∥AB交BD于H．证明△ABP≌△CHP（AAS）可得结论．
（3）如图3中，延长EG到M，使得GM＝GE，连接AM，OM，延长EF交AO于J．利用全等三角形的性质证明△OEM是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
∵A（﹣2，6），C（6，2），
∴AB＝CD＝2，OB＝OD＝6，
∴△AOB≌△COD（SAS）．

（2）解：如图2中，作CH∥AB交BD于H．

∵AB⊥y轴，OD⊥y轴，
∴AB∥OD，
∵AB∥OD，CH∥AB，
∴CH∥OD，
∵CD⊥OD，
∴CD⊥CH，
∵OB＝OD，∠BOD＝90°，
∴∠ODB＝45°，
∵∠CDO＝∠DCH＝90°，
∴∠CDH＝∠CHD＝45°，
∴CH＝CD＝AB，
∵AB∥CH，
∴∠BAP＝∠HCP，
∵∠APB＝∠CPH，
∴△ABP≌△CHP（AAS），
∴PA＝PC，
∴点P为AC中点．

（3）证明：如图3中，延长EG到M，使得GM＝GE，连接AM，OM，延长EF交AO于J．

∵AG＝GF，∠AGE＝∠FGE，GM＝GE，
∴△AGM≌△FGE（SAS），
∴AM＝EF，∠AMG＝∠GEF，
∴AM∥EJ，
∴∠MAO＝∠AJE，
∵EF＝EC，
∴AM＝EC，
∵∠AOC＝∠CEJ＝90°，
∴∠AJE+∠EJO＝180°，∠EJO+∠ECO＝180°，
∴∠AJE＝∠ECO，
∴∠MAO＝∠ECO，
∵AO＝CO，
∴△MAO≌△ECO（SAS），
∴OM＝OE，∠AOM＝∠EOC，
∴∠MOE＝∠AOC＝90°，
∴∠MEO＝45°，即∠OEG＝45°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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