高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理同步训练题

正弦定理、余弦定理

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　　能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　)

　　A．b＝7，c＝3，C＝30°

　　B．b＝5，c＝4，B＝45°

　　C．a＝6，b＝6，B＝60°

　　D．a＝20，b＝30，A＝30°

　　2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为(　)

　　A．79         B．69

　　C．5         D．-5

　　3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　)

　　A．3         B．

　　C．        D．

　　4．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是(　)

　　A．2＜x＜2       B．2＜x≤2

　　C．x＞2         D．x＜2

　　5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是(　)

　　A．      B．＜x＜5

　　C．2＜x＜       D．＜x＜5

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．已知△ABC的面积为，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．

　　2．化简a·cosA＋b·cosB-c·cos(A-B)的结果是________．

　　3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．

　　4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________．

　　5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋|＝________．

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

　　2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．

　　3．在△ABC中，cos2，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

　　4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cosAcosB，则外心位于△ABC的外部．

　　5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．

　　(1)求角C；

　　(2)求△ABC面积的最大值．

参考答案

　　一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．C　分析：A中bsinC＞c，无解；

　　B中csinB＜b＜c，有两解；

　　C中asinB＜a＜b，有一解；

　　D中bsinA＜a＜b，有两解．

　　2．D　分析：∵　·＝-·，

　　∵　·＝||||cosB

　　＝(||2＋||2-||2)

　　＝(52＋72-82)＝5

　　∴　·＝-·＝-5

　　3．B　分析：∵　S△ABC＝×1×c×sin60°＝，

　　∴　c＝4，∴　a2＝b2＋c2-2bccosA＝13

　　∴　R＝

　　∵　a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC

　　∴　

　　4．A　分析：若解此三角形有两解，则asinB＜b＜a，即x＜2＜x，

　　∴　2＜x＜2．

　　5．A　分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得＜x＜3；

　　(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜，由(1)(2)可知＜x＜．

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　1．±  ±

　　分析：∵　S△ABC＝acsinB＝，∴　ac＝4       ①

　　∵　b2＝a2＋c2-2accosB，∴　a2＋c2＝20         ②

　　由①②解得a＝±；c＝

　　2．0　分析：∵　a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝bcosA＋acosB，

　　∴　a·cosA＋b·cosB-c·cos(A-B)

　　＝(bcosC＋ccosB)cosA＋(acosC＋ccosA)cosB-c·(cosAcosB＋sinAsinB)

　　＝bcosCcosA＋ccosBcosA＋acosCcosB＋ccosAcosB-ccosAcosB-csinAsinB

　　＝cosC(bcosA＋acosB)＋c(cosAcosB-sinAsinB)

　　＝ccosC＋ccos(A＋B)

　　＝ccosC-ccosC＝0

　　3．　　分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴　x＝7

　　∵　7＝2Rsin60°，∴　R＝

　　∵　S△ABC＝×8×5×sin60°＝×r×(8＋5＋7)，∴　r＝

　　4．45°　分析：S△ABC＝absinC＝abcosC

　　∴　sinC＝cosC，∴　tanC＝1，∴　C＝45°

　　5．　分析：由三角形法则知

　　|-|2＝||2

　　＝||2＋||2-2||·||·cosA

　　＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7

　　∴　|-|＝

　　类似地由平行四边形及余弦定理可知

　　|＋|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19

　　∴　|＋|＝

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

　　1．解：∵　A＝30°，b＝10

　　(1)当0＜a＜bsinA时无解，即0＜a＜5时，无解．

　　(2)当a＝bsinA时，有一解，即a＝5时，有一解．

　　(3)当bsinA＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．

　　(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．

　　综上(1)、(2)、(3)、(4)得

　　当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．

　　2．解：∵　B＞90°

　　∴　A、C皆为锐角，应有

　　∴　x的取值范围是＜x＜4．

　　3．解：∵　c＝5，，∴　b＝4

　　又cos2

　　∴　cosA＝

　　又cosA＝

　　∴　

　　∴　b2＋c2-a2＝2b2

　　∴　a2＋b2＝c2

　　∴　△ABC是以角C为直角的三角形．

　　a＝＝3

　　∴　△ABC的内切圆半径r＝(b＋a-c)＝1．

　　4．证明：∵　ab＜4R2cosAcosB

　　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB

　　∴　4R2sinAsinB＜4R2cosAcosB

　　∴　cosAcosB＞sinAsinB

　　∴　cosAcosB-sinAsinB＞0

　　∴　cos(A＋B)＞0

　　∵　cos(A＋B)＝-cosC

　　∴　-cosC＞0

　　∴　cosC＜0

　　∴　90°＜C＜180°

　　∴　△ABC是钝角三角形

　　∴　三角形的外心位于三角形的外部．

　　5．解：(1)∵　

　　∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB

　　∴　2R［()2-()2］＝(a-b)·

　　∴　a2-c2＝ab-b2

　　∴　

　　∴　cosC＝，∴　C＝30°

　　(2)∵　S＝absinC

　　＝·2RsinA·2RsinB·sinC

　　＝R2sinAsinB

　　＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］

　　＝［cos(A-B)＋cosC］

　　＝［cos(A-B)＋］

　　当cos(A-B)＝1时，S有最大值