数学必修51.1 正弦定理和余弦定理复习练习题

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课后巩固作业（一）

(30分钟  50分)

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则

30°角所对的边长为(   )

（A）2      （B）3     （C） 2      （D）3

2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c=(   )

(A)3∶2∶1               (B)∶2∶1

(C)∶∶1            (D)2∶∶1

3.（2011· 浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=(   )

 (A)       (B)       (C)-1      (D)1

4.已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(   )

 (A)x>2              (B)x<2

(C)2<x<2         (D)2<x<2

二、填空题(每小题4分，共8分)

5.(2011·新课标全国高考)在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为_______.

6.在△ABC中，若则△ABC一定是______三角形.

三、解答题(每小题8分，共16分)

7.已知在△ABC中，a=，b=，A=30°，求c.

8.在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断三角形的形状.

【挑战能力】

（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°，a+c=b，求C.

答案解析

1.【解析】选C.设30°角所对的边长为x，由正弦定理得

得

2.【解析】选D.由A∶B∶C=3∶2∶1及A+B+C=180°，可解得A=90°，B=60°，C=30°，

∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶∶,

即a∶b∶c=2∶∶1.

3.【解题提示】用正弦定理统一到角的关系上，再用同角三角函数的平方关系即可解决.

【解析】选D.由acosA=bsinB可得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.

4.【解析】选C.由题设条件可知x>2且xsin45°<2，

∴2<x<2.

5.【解题提示】利用三角函数知识化简AB+2BC，统一角变量，然后求最大值.

【解析】令AB=c,BC=a,由正弦定理得：

∴c=2sinC,a=2sinA，且A+C=120°，

∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA

=2sinC+4sin(120°-C)

=

=4sinC+2cosC=2sin(C+)(其中tan=).

∴当C+=90°时，AB+2BC取最大值为2.

答案：2

6.【解析】由正弦定理及可得

即

又A，B，C为三角形内角,

∴A=B=C，∴三角形为等边三角形.

答案：等边

【方法技巧】判断三角形的形状需注意的问题：

利用正弦定理判断三角形的形状时，主要就是利用正弦定理的变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R为三角形外接圆的半径）把角化为边，再利用三角恒等变换的知识化简即可.

7.【解题提示】先由正弦定理求出B，再根据三角形内角和定理求出C，从而求出c.

【解析】由正弦定理得

又∵b>a，∴B＞A，所以B=60°或120°，

当B=60°时，C=90°，∴c==2，

当B=120°时，C=A=30°，∴c=a=，

综上可知c=或2.

8.【解析】∵A、B、C是三角形的内角，

∴A=π-(B+C)，

∴sinA=sin(B+C)=sinBcos C+cosBsinC

=2sinBcosC.

∴sinBcosC-cosBsinC=0，

∴sin(B-C)=0,又∵0<B<π,0<C<π，

∴-π<B-C<π，∴B=C.

又∵sin2A=sin2B+sin2C,

且a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，(R为△ABC外接圆的半径)

可得a2=b2+c2,∴A是直角，

∴△ABC是等腰直角三角形.

【误区警示】化简过程中，在利用两角和差的正弦公式时容易出现错误，需要引起注意.

【挑战能力】

【解题提示】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A-C=90°,得到sinA=cosC ，即可求解.【解析】由A-C=90°，得A为钝角且 sinA=cosC，利用正弦定理， a+c=b 可变形为 sinA+sinC=sinB，

又∵sinA=cosC，

∴sinA+sinC=cosC+sinC=sin(C+45°)，

∴sin(C+45°)=sinB，

又A、B、C是 △ABC的内角，故

C+45°=B或（C+45°)+B=180°(舍去)，

所以A+B+C=（90°+C)+（C+45°)+C=180°.

所以C=15°.