数学第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试当堂达标检测题

素质能力检测（十五）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于

A.                B.                C.－              D.2

解析： ==

∴2－2b=b+4，b=－.

答案：C

2.当＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于

A.第一象限                              B.第二象限

C.第三象限                              D.第四象限

解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，

∵＜m＜1，

∴0＜3m－2＜1，－＜m－1＜0.

答案：D

3.在下列命题中，正确命题的个数为

①两个复数不能比较大小;

②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2+(z2－z3)2=0，则z1=z3;

③若(x2－1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1;

④z为虚数的一个充要条件是z+∈R;

⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;

⑥复数z∈R的一个充要条件是z=.

A.0                    B.1                 C.2                D.3

解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.

答案：B

4.设f(n)=()n+()n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是

A.1                   B.2                  C.3                 D.无穷多个

解析：∵f(n)=in+(－i)n，

∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.

∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.

答案：C

5.已知复平面内的圆M：|z－2|=1，若为纯虚数，则与复数p对应的点P

A.必在圆M上                          B.必在圆M内

C.必在圆M外                          D.不能确定

解析：∵为纯虚数，设为ki(k∈R，k≠0)，

∴(1－ki)p=1+ki，取模得|p|=1且p≠1.

∴选C.

答案：C

6.已知复数(x－2)+yi(x、y∈R)的模为，则的最大值是

A.                 B.            C.                D.

解析：∵｜x－2+yi｜=，

∴(x－2)2+y2=3.

∴(x，y)在以C(2，0)为圆心、以为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知.

答案：D

二、填空题（每小题4分，共16分）

7.已知M={1，2，(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i}，N={－1，3}，M∩N={3}，实数a=_________.

解析：按题意(a2－3a－1)+(a2－5a－6)i=3，

∴解得a=－1.

答案：－1

8.复数z=|－2i的模为_______________.

解析：由复数的模的性质可知

z=－2i

=－2i=－2i，∴|z|=3.

答案：3

9.若x、y∈R，且2x－1+i=y－(3－y)i，则x=__________，y=___________.

解析：根据复数相等的定义求得.

答案：  4

10.复数z满足z·+z+=3，则z对应点的轨迹是____________.

解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.

答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆

三、解答题(本大题共4小题，共54分)

11.(12分)设复数z1、z2满足z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，－z1=2i，求z1和z2.

解：∵－z1=2i，∴=z1+2i.

∴z2=，即z2=－2i.

又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，

∴z1(－2i)+2iz1－2i(－2i)+1=0，

即||2－2i－3=0.

令z1=a+bi(a、b∈R)，

得a2+b2－2b－3－2ai=0，

即 解得

∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.

12.(14分)设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ(θ∈R)，求z的值和|z－ω|的取值范围.

解：设z=a+bi(a、b∈R)，则=a－bi，代入4z+2=3+i，得

4(a+bi)+2(a－bi)=3+i，

即6a+2bi=3+i.

∴∴z=i.

|z－ω|=|+i－(sinθ－icosθ)|

=

==.

∵－1≤sin(θ－)≤1，∴0≤2－2sin(θ－)≤4.∴0≤|z－ω|≤2.

13.(14分)非零复数a、b、c满足==，求的值.

解：设===k，则a=bk，b=ck，c=ak，即c=ak，b=ak·k=ak2，a=ak2·k=ak3，

∴k3=1.∴k=1或k=－±i.

则==.

若k=1，则原式=1;

若k=－+i，则原式=－－i;

若k=－－i，则原式=－+i.

综上，的值分别为1，－－i，－1+i.

14.(14分)设复数z满足｜z｜=5，且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，｜z－m｜=5 (m∈R)，求z和m的值.

解：设出z的代数形式z=x+yi(x、y∈R).

∵｜z｜=5，∴x2+y2=25.

∵(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)

=(3x－4y)+(4x+3y)i，

又(3+4i)z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴3x－4y+4x+3y=0.

化简得y=7x.将其代入x2+y2=25，得x=±，y=±.

∴z=±(+i).则当z=+i时，

｜z－m｜=｜1+7i－m｜=5，

即(1－m)2+72=50.解得m=0或m=2.

当z=－(+i)时，同理可得m=0或m=－2.