人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试同步练习题

第五十三讲  数系的扩充与复数的引入

班级________  姓名________  考号________  日期________  得分________

一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

1.(精选考题·山东)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=(    )

A.-1                   B.1

C.2               D.3

解析:由=b+i得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.

答案:B

2.(精选考题·江西)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为(    )

A.x=-1,y=1             B.x=-1,y=2

C.x=1,y=1             D.x=1,y=2

解析:由(x+i)(1-i)=y得(x+1)+(1-x)i=y,

又因x,y为实数,所以有

解得

答案:D

3.(精选考题·新课标全国)已知复数z=是z的共轭复数,则z·=(    )

解析:∵z=∴∴z•=|z|2=,故选A.

答案:A

4.(精选考题·广东)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=(    )

A.4+2i            B.2+i

C.2+2i            D.3+i

解析:z1•z2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i2=4+2i.

答案:A

5.(精选考题·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是(    )

A.|z-|=2y             B.z2=x2+y2

C.|z-|≥2x            D.|z|≤|x|+|y|

解析:|z|=≤

==|x|+|y|,D正确,易知A､B､C错误.

答案:D

6.(精选考题·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当时,b+c+d等于(    )

A.1            B.-1

C.0            D.i

解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i时,d=-i;当c=-i时,d=i,所以b+c+d=-1.

答案:B

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.(精选考题·北京)在复平面内,复数对应的点的坐标为________.

解析: =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1).

答案:(-1,1)

8.(精选考题·重庆)已知复数z=1+i,则z=________.

解析: (1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.

答案:-2i

9.(精选考题·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________.

解析:∵z(2-3i)=6+4i,

∴z=,

∴|z|=答案:2

10.已知复数z=x+yi且|z-2|=则的最大值是________;最小值是________.

解析:∵|z-2|=,

∴(x-2)2+y2=3,

则可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,

设=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.

即解得或,

即最大值为,最小值为

答案:

三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i

(1)为纯虚数;

(2)为实数;

(3)对应的点在复平面内的第二象限内.

解:(1)若z为纯虚数,

则有

即

⇒

∴m=3;

(2)若z为实数,则有

⇒m=-1或m=-2;

(3)若z对应的点在复平面内的第二象限,

则有

⇒

⇒-1<m<1-或1+<m<3.

12.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C,若∠BAC是钝角,求实数c的取值范围.

解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得<0,且B､A､C不共线,

由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>

其中当c=9时, ,三点共线,故c≠9.

∴c的取值范围是c>且c≠9.

13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b=(a+2z)2.

分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.

解:因为z=1+i,

所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a2+4a)+4(a+2)i.

因为a,b都是实数,所以可得

解得或

即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.

.