第十二讲 平面向量学案

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第十二讲 平面向量

向量的概念
1．向量：有大小有方向的量．向量可以自由移动．
2．向量的表示
　 ①向量常用有向线段来表示．
a．有向线段的方向就是向量的方向；
b．有向线段的长度就是向量的大小，称为向量的长度或模．
②可用小写字母加箭头a，b，c表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB，．
3．特殊向量
①零向量：长度为零，方向任意的向量．
　　　　　 零向量与任意向量垂直，也与任意向量平行．
②共线向量：方向相同或相反的向量，又叫平行向量．
　　因为向量可以自由移动，所以相互的平行向量可以自由移动到同一条直线上，它们也是共线向量．可知，向量之间的位置关系只有相交和平行(共线)．而直线之间的位置关系则有相交，平行和共线三种．
③相等向量：长度相等且方向相同的向量．
相反向量：长度相等且方向相反的向量．
④单位向量：长度等于一个单位长度的向量．


1．判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量一定在同一条直线上． （ ）
（2）所有的单位向量都相等． （ ）
（3）向量共线，共线，则共线． （ ）
（4）向量共线，则． （ ）
（5）向量，则． （ ）
（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量． （ ）
2．给出命题
①零向量的长度为零，方向是任意的.
②若a，b都是单位向量，则a＝b.
③向量AB与向量BA相等.
④若非零向量AB与CD是共线向量，则，，，四点共线.
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① 　　　B．② 　C．①③ 　D．①④


1．向量加法的三角形法则：
　　作AB=a，BC=b，再作向量AC．
　　有a+b=AB+BC=AC．

2．向量加法的平行四边形法则：
作AB=a，AD=b，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量
AC=a+b．

3．向量减法的三角形法则
作OA=a，OB=b，则向量BA=a-b．
即a-b=OA-OB=BA．

4．向量减法的平行四边形法则
如下图，作AC=a，AB=b，再作向量AD=-b．根据向量加法的平行四边形法则，可得AC+AD=AE,即a+(-b)=a-b=AE．
由a-b=AE，可得AC-AB=AE．
因为AE//BC且|AE|=|BC|，可得AE=BC，
即AC-AB=BC．


题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则
例1 　如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．

练1 如图，已知a，b，求作a＋b；

题型二 向量的加法运算
例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：


练1 化简或计算：
(1)CD+BC+AB； (2)AB+DF+CD+BC+FA； (3)(AB-CD)-(AC-BD)


练2 如图所示，在 ABCD中，已知AB=a，DB=b，用a，b表示向量AD，AC．

题型三 向量的减法运算
例3 化简：(AB-CD)-(AC-BD) .


练1 化简：(1) OA-OD+AD； (2) AB+DA+BD-BC-CA.

题型四 向量的减法及其几何意义
例4　已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.


练1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

题型五 用已知向量表示未知向量
例5 平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.


练1 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB=a,AC=b,AE=c，试用向量a，b，c表示向量CD,BC,BD.



1．数乘向量
规定实数与向量的积是一个向量，记作． 它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反．
当时，．
2．向量共线定理
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.


题型一 向量的线性运算
例1 化简下列各式：
(1) 2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；

(2) [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．

练1 已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.


题型二 向量线性运算的应用
例2 如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB=a，AD=b,DC=c，试用a，b，c表示BC,MN.

练1 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知BC=a，BD=b，试用a，b表示DE,CE,MN.

练1.线段AB的中点为C，若AB=λBC，则λ=（ ）
A．2 　　 B．－2 C． 2或－2 D．－2或12
练3.设a,b是两个非零且不共线向量，若8a-kb与-ka+b共线，则k=（ ）
A． 2 B．－2 C． D．8
练4.已知的两条对角线交于点，设AB=a，AD=b，用向量a和b表示向量BD，AO．



练5.在中，AB=c，AC=b．若点满足BD=2DC，则AD= ( )
A．23b+13c 　　B．53c-23b 　C．23b-13c D．13b+23c


证明，，三点共线
　　已知，是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使向量关于,的表达式为OP=(1-t)OA+tOB．
证明：
已知点在直线上，由，两点也在直线上，
可知存在实数，使．
∵，
∴．
∵，
∴，
即．
当时，点为点，是的中点，则OM=12(OA+OB)．可推广到中，若为边中点，则有存在．


向量的数量积
ab=|a||b|cosθ
|a|，|b|称为向量a，b的模长，为向量a，b之间的夹角．


题型一 向量模的有关计算
例1　已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)2；
(3)|a＋b|；
(4)|a－b|.
练1.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝_______.
练2.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.　

题型二 两个向量的夹角和垂直
例2　(1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为 (　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
(2)已知a，b是非零向量，当a＋(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋)．


练1.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
练2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．



题型三 平面向量数量积的综合应用
例3 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．


练1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．




向量的坐标表示
1．向量的坐标表示
如图，已知，，则向量

2．向量的坐标运算
设a=(x1,y1)， b=(x2,y2). 则
①a +b=(x1+x2,y1+y2) ②a -b=(x1-x2,y1-y2)
③a b=x1x2+y1y2； ④a ∥b⇔x1y2+x2y1=0
⑤a ⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
3.向量的模表示向量的长度，记为|a|，设a=(x，y)，则a=x2+y2．


题型一 向量的减法运算
例1 如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，_______.
例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB 与AD 的坐标．







练1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．
练2. 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|AB |=43|，∠xOA＝60°，
(1)求向量OA的坐标；
(2)若B(，－1)，求BA的坐标．



题型二 向量的坐标运算
例1 已知向量a，b的坐标分别是(2,1)，(-3，4)，求a＋b，a－b的坐标．


练1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP=MN，则P点坐标为______．
题型三 向量坐标运算的应用
例2　已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，若OP=OA+tOB，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．




练1.若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a－2b的坐标是(　　)
A．(5，3) B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1)
练2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)
A．－9　　 B．9　 C．3　　 D．－3
练3．与向量a＝(1，2)平行，且模等于的向量为________．
练4．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
练5．设向量，且点的坐标为，则点的坐标为 ．
练6．若，则的坐标为_________．
练7．已知两个向量，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．若向量a=-1 ，  x与b=-x ，  2共线且方向相同，求x



平面向量数量积的坐标表示：
设a=(x1,y1)， b=(x2,y2),则a b=x1x2+y1y2，a=x12+y12，b=x22+y22；
cosθ=a⋅bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22


题型一 平面向量数量积的坐标运算
例1 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1　　　　　　　B．0 C．1 D．2
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,-2)，AD=(2,1)，则AD⋅AC= (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
练1.在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB⋅AC=________.
练2．在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2)，则AD⋅AC=________.
题型二 向量的模的问题
例2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.


练1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
练2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
题型三 向量的夹角和垂直问题
例3　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．　　　　　
练1.已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．



题型四 平面向量的数量积问题
例4　已知点A，B，C满足|AB|=3|，|BC|=4|，|CA|=5|，求AB⋅BC+BC⋅CA+AB⋅CA的值．



练1.如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．


题型1：向量的数量积
1．已知向量，，若，则（ )
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D．
2．已知，，与的夹角为，求；





4．若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
　　A． B．
　　C． D．
5．等边的边长为，则

6．设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A． 　　B． 　　C． 　　　D．
7．若向量,满足，与的夹角为，则（　　）
　　A． B． 　C. D．2
8．直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则 ．
题型2：向量的模
9．已知，，且．(1) 求的值；(2)求的值．





10．已知与的夹角为，那么等于（ ）
A．2 　　　B． 　C．6 　　D．12
11．设是边长为1的正三角形, 则= .

题型3向量夹角和向量垂直
12．，，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． 　B． 　 C． 　 D．
13．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围
14．给出命题：
①在平行四边形中，.
②在中，若，则是钝角三角形.
③，则
以上命题中，正确的命题序号是 ．
15．已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．




16．已知，，且，则

17．在中，，，求值．







1．以下说法错误的是（　 ）
A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为AD的是（　　）
A．AB+CD+BC　　　　　　 B．AD+MB+(BC+CM)
C．MB+AD-BM　　　　　　 D．OC-OA+CD　
3．已知a=(3,4)，b=(5,12)，a与b则夹角的余弦为（ ）
A．6365 B．65 C． 135 D．13
4． 已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）
A．7 B．10 C．13 D．4
5．已知ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC＝（ ）
A．12a+b　　 B．12b-a　　　C．a+12b　　　 D．12a-b
6．设a,b为不共线向量，AB=a+2b, BC=-4a-b, CD=-5a-3b,则下列关系式中正确的是（ ）
A．AD=BC　　　　　　　　　 B．AD=2BC
C．AD=-BC　　　　　　　　 D．AD=-2BC
7．在四边形ABCD中，AB=DC，且AC∙BD=0，则四边形ABCD是（ ）
A．矩形 　　　 B．菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
8．已知M(－2，7)、N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN=-2PM，则P点的坐标为（ ）
　　A．(－14，16) B．(22，－11) C．(6，1) D．(2，4)
9．若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行，其中x∈R.则a-b=( )
A. 或0； B. ； C. 2或； D. 或.
10．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ；②；③；；④；⑤
　　A．0 B．1 C． 2 D．3
11．若AB=(3,4),Ａ点的坐标为(-2,-1)，则B点的坐标为 ．

12．已知，则 ．

13．已知向量，且，则的坐标是_________________．

14.设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)．
(1)试求向量2AB+AC的模；
(2)试求向量AB与AC的夹角；
(3)试求与BC垂直的单位向量的坐标．











1．(2019全国2)已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则a-b|=
A． B．2 C．52 D．50

2．(2019全国3)已知向量，则___________.
3．(2019北京)已知向量=(–4，3)，=(6，m)，且，则m=__________．

4．(2019全国2)已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
5．(2019天津)在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_________．

6．(2019北京)设点A,B,C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．(2019天津)在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则__________．


1．已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b，若b⋅c=0，则　　　　.
2．已知向量，若，则（ ）
A．-1 　　　　　　B．-12 　　　　 C．12 　　　　 D．1
3．平面向量与的夹角为，，则( )
A． 　　　　　　 B．2 　　　　 C．4 　　　　　　　D．12
4．如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且，则 .



5．为边，为对角线的矩形中，，则实数　　　　．
6．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE⋅BD= .