第十六讲 空间向量求空间角学案

第十六讲 空间向量求空间角

异面直线间的夹角

过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角．

异面直线间夹角的范围是．

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.　　　　　　　 B. C.   D.

2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

3．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为(　　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．60°

C．75°   D．90°

4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

线面夹角

过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的锐角或直角．

斜线与它在平面上的射影所成的角为线面夹角．

1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)

A．8　　　　　　　　B．6 C．8   D．8

2．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．

3．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)

A.   B. C.   D.

4．如图，正四棱锥P­ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　)

A．60°　　　　　　　　 B．30°

C．45°   D．90°

二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

分别作垂直于，则就是这个二面角的平面角．

1．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的平面角为________．

2．已知△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折起，得到三棱锥P­CBM，如图所示．则当二面角P­CM­B的大小为60°时，＝________.

3．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)

A．150°　　　　　　　　　 B．45°

C．120°   D．60°

4．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A­BC­P的大小为________．

数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：

①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；

②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；

③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.

(2)空间向量的坐标运算：

空间位置关系的向量表示

1．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

(1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

(3)求证：AA1⊥BD.

2．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：

(1)PA∥平面EDB；

(2)PB⊥平面EFD.

3．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则．

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则．

1．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．

2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°

C．60° D．90°

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．

5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

6．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．

(1)求证：BD⊥A1D；

(2)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF位置，OD′＝.

(1)证明：D′H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B­D′A­C的余弦值．

8．如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB＝ED＝EC＝BC，连接CE并延长交AD于F.

　(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；

　(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B­CP­D的余弦值．