第十一讲 解三角形学案

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正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R；
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccsA；
b2＝c2＋a2－2cacsB；
c2＝a2＋b2－2abcsC．
三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
题型1 正弦定理
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝
A．2 B．1C．eq \r(3)D．eq \r(2)
2. 在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cs B＝________.
3． 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝ .
题型2 余弦定理
1．在△ABC中，cs C＝－eq \f(3,5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝
A．4eq \r(2)B.eq \r(30)C.eq \r(29)D．2eq \r(5)
2．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sinC,sinB)＝
A．eq \f(8,5) B．eq \f(5,8) C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,5)
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB＝eq \r(3)ac，则角B的值为
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
4．(2018全国Ⅱ)在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝
A．4eq \r(2) B．eq \r(30) C．eq \r(29) D．2eq \r(5)
题型3 解三角形综合运用
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs A＋acs B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为
A．7.5 B．7C．6D．5
2. (2019全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-sinB=4csinC，csA=－，则=
A. 6B. 5C. 4D. 3
3. 若△ABC的面积为a2+b2-c24，则角C的值为
A. π3B. π6 C. π4D. π2
4．(2018全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC．
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝eq \r(3)，试判断△ABC的形状．
6. 在△ABC中，a=3，，csB=.
（1）求c的值；
（2）求sin（B+C）的值.
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 a∶b∶c＝6∶4∶3，则eq \f(sin2A,sinB＋sinC)
A．－eq \f(11,14) B．eq \f(12,7) C．－eq \f(11,24) D．－eq \f(7,12)
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
4．在△ABC中，，，且，则 ．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(c－b,\r(2)c－a)＝eq \f(sin A,sin B＋sin C)，则角B＝______.
6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
7．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC．
8．(2017全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sinA)．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
典例剖析
例1、△ABC中,已知a=,c=10,A=30,则B等于( )
A.105 B.60 C.15 D.105 或 15
例2、在△ABC中,若sinA>sinB,则有( )
A.a>b B.a≥b C.a例3、在△ABC中,a2+b2-c2=ab,则C为 ( )
A.60 B.45 或 135 C.90 D.120
例4．在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求角的大小
真题链接
1．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则
A． B．C． D．
2．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则
A． B． C． D．
3．（2017新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知
，，，则=
A． B． C． D．
4．（2016全国I）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，
，则=
A． B． C．2 D．3
5．（2016全国III）在中，，边上的高等于，则
A． B． C． D．
6．（2016山东）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=
A． B． C． D．
7．(2015广东)设的内角的对边分别为，，．若，，，且，则
A． B． C． D．
8．(2018全国卷Ⅰ)△的内角的对边分别为，已知
，，则△的面积为__．
9．(2018浙江)在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则=____，=____．
10．（2017新课标Ⅱ）的内角,，的对边分别为，，，若
，则
（2017新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则=_______．
(2019全国卷 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acsB=0，则B=___________.
(2020全国卷Ⅰ)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
(1)若a=c，b=2，求的面积；
(2)若sinA+sinC=，求C.
(2020全国 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
(2017天津)在中，内角所对的边分别为．已知，．
(1)求的值；(2)求的值．
（2015新课标2）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．
(1)求 ；
(2) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
已知分别是内角的对边，．
(1) 若，求
(2) 若，且，求的面积．