还剩21页未读，
继续阅读
山东省潍坊市寿光市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
展开
这是一份山东省潍坊市寿光市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省潍坊市寿光市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＞4 C．m≤﹣4 D．m＜4
4．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
5．若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
6．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
8．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法中，正确的有 ．
A．等弧所对的圆心角相等
B．经过三点可以作一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．圆的内接平行四边形是矩形
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A，B两树距离的有 ．
A．AC，∠ACB
B．EF，DE，∠F
C．CD，∠ACB，∠ADB
D．∠F，∠ADB，FB
11．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为 ．
A.15
B.16
C.17
D.18
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒，连接BD．下列结论正确的有 ．
A．BC＝4cm；
B．当AD＝AB时，tan∠ABD＝2；
C．以点B为圆心、BE为半径画⊙B，当t＝时，DE与⊙B相切；
D．当∠CBD＝∠ADE时，t＝．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 ．
14．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 ．
15．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
16．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 ．
四、解答题（本题共7小题，共64分.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．
18．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
21．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
解：∵tan30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得∠BDC的度数，本题得以解决．
解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，
∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，
∴∠BDC＝25°，
故选：B．
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＞4 C．m≤﹣4 D．m＜4
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
4．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可．
解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∵BC＝30m，
∴AC＝30×2.5＝75（m），
故选：A．
5．若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0得到关于m的方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0，得（m+3）﹣m+m2﹣12＝0，
解得m＝±3，
故选：C．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝＝，
故选：C．
7．某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
【分析】根据“第三季度生产零件数＝七月生产零件数+八月生产零件数+九月生产零件数”可列方程．
解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故选：D．
8．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
【分析】连CD、OE，如图，利用折叠性质得四边形OCED是菱形，＝，则S扇形ECD＝S扇形OCD，根据圆周角定理求得∠COD＝∠CED＝120°，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可．
解：连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，＝，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（﹣2×2）+＝2（π﹣2）+
＝π﹣3，
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法中，正确的有 A、D ．
A．等弧所对的圆心角相等
B．经过三点可以作一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．圆的内接平行四边形是矩形
【分析】利用圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A．等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
B．经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；
D．圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
正确的有A、D，
故答案为：A、D．
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A，B两树距离的有 A，C ．
A．AC，∠ACB
B．EF，DE，∠F
C．CD，∠ACB，∠ADB
D．∠F，∠ADB，FB
【分析】分别根据选项中的数据计算AB的值即可．
解：A选项中知道∠ACB和AC长，可以根据AB＝AC•tan∠ACB求出AB，
故A选项正确；
B选项中tan∠F＝，得不到与AB相关的具体数量关系，
故B选项不正确；
C选项中根据﹣＝CD，即可计算出AB，
故C选项正确；
D选项中∠F+∠ADB＝90°，FB得不到与AB相关的具体数量关系，
故D选项不正确，
故答案为：A，C．
11．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为 B、C ．
A.15
B.16
C.17
D.18
【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．
解：当a＝3或b＝3时，
把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，
此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；
当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；
综上所述，m的值为16或17．
故答案为：B、C．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒，连接BD．下列结论正确的有 A，B ．
A．BC＝4cm；
B．当AD＝AB时，tan∠ABD＝2；
C．以点B为圆心、BE为半径画⊙B，当t＝时，DE与⊙B相切；
D．当∠CBD＝∠ADE时，t＝．
【分析】A、B、先根据三角函数定义可得BC＝4，由勾股定理计算AC＝3，最后证明∠ABD＝∠D，计算∠D的正切即可；
C、利用切线的性质，构建方程求解即可．
D、显然有两种情形，由此即可判断．
解：A、在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，cosB＝，
∴，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝5×＝4（cm），故A正确．
B、在直角△ABC中，
AC＝＝3（cm），
当AD＝AB＝5时，∠ABD＝∠D，
∴CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△BCD中，tan∠D＝＝2，
∴tan∠ABD＝tan∠D＝2，故B正确，
C、如图，当DE与⊙B相切时，DE⊥BE．
则有cos∠A＝，
∴，
∴t＝，
当t＝时，DE与⊙B相切；故C错误．
D、满足条件的t的值应该有两个，显然D错误，
故答案为：A，B．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 3 ．
【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．
∴OA＝AB＝，
OC＝OA•sinA＝，
∴S△OAB＝AB•OC＝＝，
则正六边形的面积为．
故答案为．
14．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 2019 ．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系作答．
解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
15．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 140° ．
【分析】由三角形内心的性质可得AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，可求∠C的度数，由圆周角定理可求解．
解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∴∠ACB＝70°，
∵点O是△ACB是外心，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
故答案为：140°．
16．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 （4044，0） ．
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4＝505…1，故点P2021在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2＝4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
四、解答题（本题共7小题，共64分.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（2）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
则x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m．
根据题意，得：
x（68+2﹣2x）＝600．
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝40＞32，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
【分析】（1）由DE⊥AB，AE＝6，cosA＝，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC＝DE＝8；
（2）由AD＝10，DC＝8，得AC＝AD+DC＝18．由∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC＝．
解：（1）在Rt△ADE中，由AE＝6，cosA＝＝，得：AD＝10，（1分）
由勾股定理得DE＝＝＝8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，角平分线性质得：DC＝DE＝8．
（2）方法一：由（1）AD＝10，DC＝8，得：AC＝AD+DC＝18．
在△ADE与△ABC，∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：＝，即＝，BC＝24，
得：tan∠DBC＝＝＝
方法二：由（1）得AC＝18，又cosA＝＝，得AB＝30，
由勾股定理得BC＝24得：tan∠DBC＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC＝∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据垂径定理求得AE＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，在直角△AOE中，根据勾股定理列出方程并解答．
【解答】（1）证明：连接AC，CD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD；
（2）由（1）可知＝，
∴OC⊥AD，
又∵AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
21．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，再求得∠CBG＝45°，BC＝80海里，即可得到结论．
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝30°+15°＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80海里，sin∠BAM＝＝，
∴BM＝AM＝AB＝40（海里），
答：渔船航行40海里，与小岛B的距离最近；
（2）在Rt△BCM中，BM＝40海里，MC＝40海里，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BM＝BC，
∴BC＝2BM＝80（海里），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80海里．
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【解答】证明：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程＝速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．
则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6×，
解得t＝；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，
解得t＝或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，
得方程5t2﹣32t+59＝0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t＝或 时，点P与点Q之间的距离．
2021-2022学年山东省潍坊市寿光市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＞4 C．m≤﹣4 D．m＜4
4．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
5．若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
6．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
8．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法中，正确的有 ．
A．等弧所对的圆心角相等
B．经过三点可以作一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．圆的内接平行四边形是矩形
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A，B两树距离的有 ．
A．AC，∠ACB
B．EF，DE，∠F
C．CD，∠ACB，∠ADB
D．∠F，∠ADB，FB
11．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为 ．
A.15
B.16
C.17
D.18
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒，连接BD．下列结论正确的有 ．
A．BC＝4cm；
B．当AD＝AB时，tan∠ABD＝2；
C．以点B为圆心、BE为半径画⊙B，当t＝时，DE与⊙B相切；
D．当∠CBD＝∠ADE时，t＝．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 ．
14．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 ．
15．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
16．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 ．
四、解答题（本题共7小题，共64分.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．
18．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
21．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
解：∵tan30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得∠BDC的度数，本题得以解决．
解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，
∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，
∴∠BDC＝25°，
故选：B．
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＞4 C．m≤﹣4 D．m＜4
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
4．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可．
解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴BC：AC＝1：2.5，
∵BC＝30m，
∴AC＝30×2.5＝75（m），
故选：A．
5．若x＝1是方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．2
【分析】根据方程的解的定义把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0得到关于m的方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0，得（m+3）﹣m+m2﹣12＝0，
解得m＝±3，
故选：C．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝＝，
故选：C．
7．某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
【分析】根据“第三季度生产零件数＝七月生产零件数+八月生产零件数+九月生产零件数”可列方程．
解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故选：D．
8．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
【分析】连CD、OE，如图，利用折叠性质得四边形OCED是菱形，＝，则S扇形ECD＝S扇形OCD，根据圆周角定理求得∠COD＝∠CED＝120°，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可．
解：连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，＝，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（﹣2×2）+＝2（π﹣2）+
＝π﹣3，
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法中，正确的有 A、D ．
A．等弧所对的圆心角相等
B．经过三点可以作一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．圆的内接平行四边形是矩形
【分析】利用圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A．等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
B．经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；
D．圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
正确的有A、D，
故答案为：A、D．
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A，B两树距离的有 A，C ．
A．AC，∠ACB
B．EF，DE，∠F
C．CD，∠ACB，∠ADB
D．∠F，∠ADB，FB
【分析】分别根据选项中的数据计算AB的值即可．
解：A选项中知道∠ACB和AC长，可以根据AB＝AC•tan∠ACB求出AB，
故A选项正确；
B选项中tan∠F＝，得不到与AB相关的具体数量关系，
故B选项不正确；
C选项中根据﹣＝CD，即可计算出AB，
故C选项正确；
D选项中∠F+∠ADB＝90°，FB得不到与AB相关的具体数量关系，
故D选项不正确，
故答案为：A，C．
11．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为 B、C ．
A.15
B.16
C.17
D.18
【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．
解：当a＝3或b＝3时，
把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，
此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；
当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；
综上所述，m的值为16或17．
故答案为：B、C．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒，连接BD．下列结论正确的有 A，B ．
A．BC＝4cm；
B．当AD＝AB时，tan∠ABD＝2；
C．以点B为圆心、BE为半径画⊙B，当t＝时，DE与⊙B相切；
D．当∠CBD＝∠ADE时，t＝．
【分析】A、B、先根据三角函数定义可得BC＝4，由勾股定理计算AC＝3，最后证明∠ABD＝∠D，计算∠D的正切即可；
C、利用切线的性质，构建方程求解即可．
D、显然有两种情形，由此即可判断．
解：A、在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，cosB＝，
∴，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝5×＝4（cm），故A正确．
B、在直角△ABC中，
AC＝＝3（cm），
当AD＝AB＝5时，∠ABD＝∠D，
∴CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△BCD中，tan∠D＝＝2，
∴tan∠ABD＝tan∠D＝2，故B正确，
C、如图，当DE与⊙B相切时，DE⊥BE．
则有cos∠A＝，
∴，
∴t＝，
当t＝时，DE与⊙B相切；故C错误．
D、满足条件的t的值应该有两个，显然D错误，
故答案为：A，B．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 3 ．
【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．
∴OA＝AB＝，
OC＝OA•sinA＝，
∴S△OAB＝AB•OC＝＝，
则正六边形的面积为．
故答案为．
14．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 2019 ．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系作答．
解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
15．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 140° ．
【分析】由三角形内心的性质可得AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，可求∠C的度数，由圆周角定理可求解．
解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∴∠ACB＝70°，
∵点O是△ACB是外心，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
故答案为：140°．
16．如图，四边形AOBC是正方形，曲线CP1P2P3⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圆心依次按点A，O，B，C循环，点A的坐标为（2，0），按此规律进行下去，则点P2021的坐标为 （4044，0） ．
【分析】由题意可知，正方形的边长为2，每旋转一次半径增加2，每次旋转的角度为90°，据此解答即可．
解：由题意可知：正方形的边长为2，
∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），
P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）
…
可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2，
2021÷4＝505…1，故点P2021在x轴正半轴，
OP的长度为2021×2+2＝4044，
即：P2021的坐标是（4044，0），
故答案为：（4044，0）．
四、解答题（本题共7小题，共64分.）
17．解下列方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（2）∵4x2﹣8x+1＝0，
∴4x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
则x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m．
根据题意，得：
x（68+2﹣2x）＝600．
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20．
当x＝15时，70﹣2x＝40＞32，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
【分析】（1）由DE⊥AB，AE＝6，cosA＝，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC＝DE＝8；
（2）由AD＝10，DC＝8，得AC＝AD+DC＝18．由∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC＝．
解：（1）在Rt△ADE中，由AE＝6，cosA＝＝，得：AD＝10，（1分）
由勾股定理得DE＝＝＝8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，角平分线性质得：DC＝DE＝8．
（2）方法一：由（1）AD＝10，DC＝8，得：AC＝AD+DC＝18．
在△ADE与△ABC，∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得：＝，即＝，BC＝24，
得：tan∠DBC＝＝＝
方法二：由（1）得AC＝18，又cosA＝＝，得AB＝30，
由勾股定理得BC＝24得：tan∠DBC＝．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC＝∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据垂径定理求得AE＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，在直角△AOE中，根据勾股定理列出方程并解答．
【解答】（1）证明：连接AC，CD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD；
（2）由（1）可知＝，
∴OC⊥AD，
又∵AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
21．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，再求得∠CBG＝45°，BC＝80海里，即可得到结论．
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝30°+15°＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80海里，sin∠BAM＝＝，
∴BM＝AM＝AB＝40（海里），
答：渔船航行40海里，与小岛B的距离最近；
（2）在Rt△BCM中，BM＝40海里，MC＝40海里，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BM＝BC，
∴BC＝2BM＝80（海里），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80海里．
22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【解答】证明：如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程＝速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．
则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6×，
解得t＝；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，
解得t＝或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，
得方程5t2﹣32t+59＝0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t＝或 时，点P与点Q之间的距离．
相关试卷
山东省潍坊市寿光市九年级2024届中考一模数学试卷(含答案)： 这是一份山东省潍坊市寿光市九年级2024届中考一模数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市寿光市2023届九年级上学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)： 这是一份山东省潍坊市寿光市2023届九年级上学期期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市寿光市、昌邑市2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷： 这是一份山东省潍坊市寿光市、昌邑市2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
