高中数学人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明综合与测试综合训练题

第2课时　类比推理

1．下面使用类比推理恰当的是

(　　)．

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”

解析　由实数运算的知识易得C项正确．

答案　C

2．下面几种推理是类比推理的是

(　　)．

A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)

B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员

D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除

答案　B

3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为

(　　)．

A．V＝abc

B．V＝Sh

C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)

D．V＝(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)

解析　△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A­BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.

答案　C

4．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．

性质①____________________________________________________；

性质②_______________________________________________________.

答案　六条棱长相等　四个面都全等

5．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．

解析　由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想dn＝.

答案　

6．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．

解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.

于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，

则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.

7．下列推理正确的是

(　　)．

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有：loga(x＋y)＝logax＋logay

B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有：sin(x＋y)＝sin x＋sin y

C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有：(x＋y)n＝xn＋yn

D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有：(xy)z＝x(yz)

解析　A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sin xcos y＋cos xsin y；对于C，则有(x＋y)n＝Cxn＋Cxn－1·y＋…＋C·xn－r·yr＋…＋Cyn；D正确，为加乘法的结合律，故选D.

答案　D

8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为

(　　)．

A．a1a2a3…a9＝29

B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29

C．a1a2a3…a9＝2×9

D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9

答案　D

9．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________．

解析　由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，

∴＝.

答案　＝

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8—S4，S12—S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．

解析　等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．

答案　　

11．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；

(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．

解　(1)数列 S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.

该结论是正确的．(证明略)

(2)对于k∈N*，都有

数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.

12．(创新拓展)如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A­BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明．

解　命题是：三棱锥A­BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD是一个真命题．

证明如下：

在图(2)中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC.

因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.

又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.

于是S＝2＝·＝S△BCM·S△BCD.