选修2-13.1空间向量及其运算单元测试课堂检测

内蒙古自治区新人教A版数学高三单元测试16

【空间向量与坐标运算】

本卷共100分，考试时间90分钟

一、选择题　(每小题4分，共40分)

1在空间直角坐标系中，，，点在直线上，则

A．       B．    

C．      D． 

2知空间直角坐标系中且，则B点坐标为（　　）

A、（9,1,4）                 B、（9,－1，－4）

C、（8,－1，－4）            D、（8,1,4）

3若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（    ）

  A． xOy平面       　　B． xOz平面    　　　C．yOz平面        D．以上都有可能

4已知向量与向量平行，则等于 （     ）

    A.              B.                C.              D.

5已知，，若，则实数的值为

A. －2         B.              C.             D. 2

6在平行六面体中，，，则对角线的长度为

　A．        B． 4        C．       D．

7直线的方向向量为，直线b的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则                        　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　）

A． 若，则

B． 若，则

C． 若，则

D． 若，则

8四棱柱中，AC与BD的交点为点M，设，则下列与相等的向量是                                                       （   ）

A．                           B．

C．                              D．

9若向量，且与的夹角余弦为，则等于（   ）

A．         B．  

C．或  D．或

10如图，已知三点A，B，E在平面内，点C，D在外，并且，。若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD与平面所成的角等于（    ）

    A． B．     C． D．

二、填空题　(每小题4分，共16分)

11在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为         

12在空间直角坐标系中，已知，，点P在z轴上，且满足，则点P的坐标为                           

13已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________．

14已知点是边长为的正方形内的一点，若 的面积均不小于，则的取值范围是______________

三、解答题　(共44分，写出必要的步骤)

15（本小题满分10分）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ） 求点到平面的距离；

（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

16（本小题满分10分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，E是SC的中点。

   （I）求证：SA//平面BDE；

   （II）求证：；

   （III）若SD=2，求二面角E—BD—C的余弦值。

17（本小题满分12分）

如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

18（本小题满分12分）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．

 （1）求证：平面；

   （2）求证：平面；

   （3）求二面角的余弦值．

答案

1,B 2,A 3,B 4,C 5,D

，由

得，选D.

6,D 7,D 8,A 9,C  解析：

10,C

11,      12.     13,   14,

15解析：如图建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）                                   

   （I）取PC的中点G，连结EG，则G

   （II）设平面PCE的法向量为

   （III） 

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.    

16（Ⅰ）连结AC交BD于F，连结EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，

又E为SC的中点，所以SA∥EF，

∵SA平面BDE，EF平面BDE，

∴SA∥平面BDE．

（Ⅱ）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30，及余弦定理得

取BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝1，

∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SB平面SBD，

∴AD⊥SB．

（Ⅲ）取CD的中点G，连结EG，则EG⊥面BCD，且EG＝1．

设三棱锥C—BDE的高为h，

在△BDE中，BD＝1，DE＝BE＝SC＝，EF＝．

在Rt△BCD中，BD＝1，BC＝，∠CBD＝90．

∵VC—BDE＝EE—BCD，

∴··BD·EF·h＝··BD·BC·EG，

17 （1）证明：四棱柱中，，

又面，所以平面，    

是正方形，所以，

又面，所以平面，       

所以平面平面，

所以平面.                           

（2）解：是正方形，，

因为平面，

所以，，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，.     

在中，由已知可得，

所以，，

， 因为平面，

所以平面，

，

又，

所以平面，

所以平面的一个法向量为

，  

设与所成的角为，又则.                 

所以直线与平面所成角的正弦值为.     

18（1）证明：连结，．

       在中，是,的中点，．

       又平面，平面．          

   （2）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系

       设平面A1B1C1的法向量为

       令，则 [

       平面A1B1C

   （3）平面MB1C的法向量为

       令

       所求二面角M—B1C—A1的余弦值为