人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试巩固练习

模块质量检测（A）

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)

(考试时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题“若a＞－1，则a＞－2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．4

解析：　原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”为假命题，故否命题为假命题．故4个命题中有2个真命题．故选C.

答案：　C

2．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是(　　)

A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0 B．存在x∈R,2x4－x2＋1<0

C．存在x∈R,2x4－x2＋1≥0 D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0

解析：　全称命题的否定是特称命题，

所以该命题的否定是：存在x∈R,2x4－x2＋1≥0.

答案：　C

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)

A.   B.

C．2   D．4

解析：　由x2＋my2＝1，得x2＋＝1，

又∵椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，

∴＝4，即m＝.

答案：　A

4．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么(　　)

A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件

C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件

解析：　∵甲⇒/乙，乙⇒甲

∴甲是乙的必要不充分条件，故选B.

答案：　B

5．下列结论正确的个数是(　　)

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；

②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；

③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则q：∀x∈R，x2＋4x＋4≤0是全称命题．

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：　只有命题①正确．

答案：　B

6．设θ∈，则关于x，y的方程－＝1所表示的曲线为(　　)

A．实轴在y轴上的双曲线   B．实轴在x轴上的双曲线

C．长轴在y轴上的椭圆   D．长轴在x轴上的椭圆

解析：　∵θ∈，

∴cos θ<0，且|cos θ|>sin θ>0，

∴原方程可化为＋＝1，

即＋＝1，它表示长轴在y轴上的椭圆．

答案：　C

7．已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)

A．(1，－4,2)   B.

C.   D．(0，－1,1)

解析：　＝(0,2,4)，直线l的方向向量为a＝(2,1,1)，

设平面α的法向量n＝(x，y，z)，

则经检验，A，B，C都是平面α的法向量．故选D.

答案：　D

8．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－4x   B．x2＝4y

C．y2＝－4x或x2＝4y   D．y2＝4x或x2＝－4y

解析：　采用排除法，选C.

答案：　C

9．正四面体ABCD中，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，给出向量的数量积如下：①·；②·；③·；④·.其中等于0的个数是(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：　①②③④均为0.

答案：　D

10．过双曲线－＝1的焦点作弦MN，若|MN|＝48，则此弦的倾斜角为(　　)

A．30°   B．60°

C．30°或150°   D．60°或120°

解析：　用弦长公式|x1－x2|求解，显然直线MN的斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－3)，

与双曲线方程联立，得(2－k2)x2＋6k2x－27k2－18＝0，

所以|MN|＝＝48，

解得k2＝3.即k＝±，故选D.

答案：　D

11.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D中，M是AB的中点，则sin〈DB′，〉的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：　以D为原点，DA，DC，DD′为x，y，z轴建系，

设正方体的棱长为1，则＝(1,1,1)，C(0,1,0)，

M，＝，

故cos〈，〉＝，则sin〈，〉＝.

答案：　B

12．已知a＞0，b＞0，且双曲线C1：－＝1与椭圆C2：＋＝2有共同的焦点，则双曲线C1的离心率为(　　)

A.   B．2

C.   D.

解析：　由已知

所以4a2＝3c2，所以e＝

＝，故选C.

解析：　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

13．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：　綈p: x>1或x<；綈q：x>a＋1或x<a，

若綈p⇐綈q，綈p⇒/ 綈q，则所以0≤a≤.

答案：　0≤a≤

14．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在1上且＝

，N为B1B的中点，则||为________．

解析：　

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，

C1(0，a，a)，N.

设M(x，y，z)

∵点M在1上且＝1，

∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)

∴x＝a，y＝，z＝

得M，

∴||＝

＝a.

答案：　a

15.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若＝＋x＋y，则x＝________，y＝________.

解析：　＝－＝－

＝(＋)－＝(＋)－

＝(＋－)－

＝－＋＋.

∴x＝，y＝－.

答案：　　－

16．若方程＋＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则1<t<4，且t≠；

②若C为双曲线，则t>4或t<1；

③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<.

其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)

解析：　若为椭圆即1<t<4，且t≠，

若为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，即4<t或t<1；

当t＝时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1<t<，故①②正确．

答案：　①②

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)．

17．(本小题满分12分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

解析：　若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，

则解得m＞2，即p：m＞2.

若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，

解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.

因p或q为真，所以p，q至少有一为真，

又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，

即p为真，q为假或p为假，q为真．

∴或

解得m≥3或1＜m≤2.

18．(本小题满分12分)已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P，求拋物线方程和双曲线方程．

解析：　依题意，设拋物线方程为y2＝2px(p＞0)，

∵点在拋物线上，∴6＝2p·，∴p＝2，

∴所求拋物线方程为y2＝4x.

∵双曲线左焦点在拋物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点在双曲线上，

∴，解得，

∴所求双曲线方程为－＝1.

19．(本小题满分12分)已知p：2x2－9x＋a<0，

q：且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．

解析：　由q：解得

即2<x<3，∴q：2<x<3.

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，

∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A，

∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，

令f(x)＝2x2－9x＋a，

要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，

只需

即∴a≤9，

故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．

20.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

(1)证明：面PAD⊥面PCD.

(2)求AC与PB所成角的余弦值．

解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点的坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M.

 (1)证明：∵＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，·＝0.

∴AP⊥DC，

∵AD⊥DC，∴DC⊥面PAD.

又DC在平面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

(2)∵＝(1,1,0)，＝(0,2，－1)，

故||＝，||＝，·＝2，

∴cos〈，〉＝＝.

21．(本小题满分12分)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

解析：　(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.

所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)．

离心率为e＝＝.

(2)由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，.

此时|AB|＝.

当m＝－1时，同理可得|AB|＝.

当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．

由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

x1＋x2＝，x1x2＝.

又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.

所以|AB|＝

＝

＝

＝.

由于当m＝±1时，|AB|＝，

所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，

所以|AB|的最大值为2.

22．(本小题满分14分)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

解析：　

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.

(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，

则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．

所以·＝0，·＝0，

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.

又DQ∩DC＝D，

所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ⊂平面PQC，

所以平面PQC⊥平面DCQ.

(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．

设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则

即

因此可取n＝(0，－1，－2)．

同理，设m是平面PBQ的法向量，则

可取m＝(1,1,1)．所以cos(m，n)＝－.

故二面角Q－BP－C的余弦值为－.