数学人教版新课标A第二章 圆锥曲线与方程综合与测试达标测试

2章整合

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)

(考试时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：　双曲线－＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±2)，

故所求椭圆的焦点在y轴上，a＝4，c＝2，

∴b2＝4，所求方程为＋＝1，故选D.

答案：　D

2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于(　　)

A．22   B．21

C．20   D．13

解析：　由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，

又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.

答案：　A

3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)

A.   B.

C.   D．(，0)

解析：　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，

∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，

∴c＝，

故右焦点坐标为.

答案：　C

4．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)

A．4   B．2

C．－4   D．－2

解析：　椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，

∴＝－1，即p＝－2.

答案：　D

5．若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：　方程－＝1表示双曲线的条件是(k－3)(k＋3)>0，

即k>3或k<－3.故k>3是方程－＝1

表示双曲线的充分不必要条件．故选A.

答案：　A

6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B.

C.   D.

解析：　由·＝0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需c<b，

即c2<b2，c2<a2－c2,2c2<a2，

故离心率e＝<.

因为0<e<1，所以0<e<.

即椭圆离心率的取值范围是.故选C.

答案：　C

7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

解析　方法一：由得或

令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，

∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3.

∴cos∠AFB＝＝＝－.

方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，

∴＝(3,4)，＝(0，－2)，

∴||＝＝5，||＝2.

∴cos∠AFB＝＝＝－.

答案：　D

8．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)

A．7   B.

C.   D.

解析：　|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.

|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°

＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2

＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝.

S＝××2×＝.

答案：　B

9．已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1(x>1)   B．x2－＝1(x<－1)

C．x2＋＝1(x>0)   D．x2－＝1(x>1)

解析：　设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，

则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.

∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)

＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.

所以点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的一支，且a＝1，

∴c＝3，b2＝8，

∴所以双曲线方程是x2－＝1(x>1)．

答案：　A

10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A.   B.

C．2   D．3

解析：　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，

∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，∴＝2，

∴＝e2－1＝2.

∴e＝.

答案：　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是________．

解析：　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，知＝，

它的一个焦点是(，0)，知a2＋b2＝10，

因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是－y2＝1.

答案：　－y2＝1

12．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．

解析：　设直线方程为y－1＝k(x－2)，

与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，

设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝＝4，解得k＝－，

所以直线方程为x＋2y－4＝0.

答案：　x＋2y－4＝0

13.如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．

解析：　∵△POF2是面积为的正三角形，

∴c2sin 60°＝，

∴c2＝4，

∴P(1，)，

∴解之得b2＝2.

答案：　2

14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．

解析：　显然x1，x2≥0，又y＋y＝4(x1＋x2)≥8，

当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.

答案：　32

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．

解析：　由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0，±4)，

离心率e＝，

所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，

从而c＝4，a＝2，b＝2.

所以双曲线方程为－＝1.

16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程．

解析：　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝得a＝2b.

|PM|2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)，

若b<，则当y＝－b时，|PM|2最大，即2＝7，

则b＝－>，故舍去．

若b≥时，则当y＝－时，|PM|2最大，即4b2＋3＝7，

解得b2＝1.

∴所求方程为＋y2＝1.

17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．

解析：　由＝λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，

故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，

即y0＝(1＋λ)x2－λy.①

再设B(x1，y1)，由＝λ，

即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，

解得②

将①式代入②式，消去y0，

得③

又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，

再将③式代入y1＝x，得

(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，

(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，

2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.

因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.

故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.

18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(－，0)、F2(，0)，点F1到直线x＝－的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.

(1)求椭圆的方程；

(2)求直线l的方程．

解析：　(1)∵F1到直线x＝－的距离为，

∴－＋＝.

∴a2＝4.

而c＝，

∴b2＝a2－c2＝1.

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．

∵|F2B|＝3|F2A|，

∴

∵A、B在椭圆＋y2＝1上，

∴

∴

∴l的斜率为＝.

∴l的方程为y＝(x－)，

即x－y－＝0.