人教版新课标A选修2-11.4全称量词与存在量词课时训练

第1章   1.4.3

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是(　　)

A．不存在x0∈R，x－x＋1≤0 B．存在x0∈R，x－x＋1≥0

C．存在x0∈R，x－x＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0

解析：　由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x－x＋1>0”．故选C.

答案：　C

2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是(　　)

A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根

B．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根

D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根

解析：　由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”．故选B.

答案：　B

3．“∃x0∉M，p(x0)”的否定是(　　)

A．∀x∈M，綈p(x)　　　　　　　 B．∀x∉M，p(x)

C．∀x∉M，綈p(x)   D．∀x∈M，p(x)

答案：　C

4．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是(　　)

A．②③   B．①②④

C．①③④   D．①②③④

解析：　当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．

由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．

∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．

答案：　D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p：________，它是________命题(填“真”或“假”)．

解析：　∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p是假命题．

答案：　特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0　真

6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

答案：　(1)∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3

(2)∀x∈R，x2＋2x＋5≠0

三、解答题(每小题10分)

7．写出下列命题的否定并判断其真假．

(1)所有正方形都是矩形；

(2)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；

(4)正数的对数都是正数．

解析：　(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．

(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．

(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．

(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．

8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

解析：　(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，

即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m＞－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.

(2)若m－f(x0)>0，

∴m>f(x0)．

∵f(x0)＝x－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.

∴m>4.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．

(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；

(2)若a·c＝b·c，则a＝b；

(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．

解析：　(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；

命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；

(2)否命题：若a·c≠b·c，则a≠b.真；

命题的否定：∃a，b，c，若a·c＝b·c，则a≠b，真；

(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．

命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．