数学选修2-23.2复数代数形式的四则运算当堂检测题

3．1.2　复数的几何意义

1．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是

(　　)．

A.   B．－ 

C.   D.

解析　∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，

∴tan α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π.

答案　D

2．当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于

(　　)．

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析　∵<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．

答案　D

3．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是

(　　)．

A．(－2，2)    B．(－2,2)

C．(－1,1)    D．(－，)

解析　因为|z|<2，所以<2，则1＋a2<4，a2<3，解得－<a<，故选D.

答案　D

4．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．

解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.

答案　5

5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为________．

解析　|z|＝＝＝

＝2.

∵π<α<2π，∴<<π，cos<0，∴|z|＝－cos.

答案　－cos

6．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．

(1)位于第四象限？

(2)位于第一、三象限？

(3)位于直线y＝x上？

解　(1)由⇒

解得－2<m<3或5<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．

(2)由或

可等价转化为(m2－8m＋15)(m2－5m－14)>0，

即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)>0，

利用“数轴标根法”可得：m<－2或3<m<5或m>7，此时复数z对应的点位于第一、三象限．

(3)要使点Z在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝.此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．

7．下列命题中为假命题的是

(　　)．

A．复数的模是非负实数

B．复数等于零的充要条件是它的模等于零

C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件

D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|

解析　A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，

∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．

答案　D

8．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是

(　　)．

A．复数z对应的点在第一象限

B．复数z一定不是纯虚数

C．复数z对应的点在实轴上方

D．复数z一定是实数

解析　∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，

∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.

又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．

答案　C

9． 已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是  

    ________________．

解析　由模的计算公式得＝2，

∴(x－2)2＋y2＝8.

答案　(x－2)2＋y2＝8

10．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________．

解析　由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，

－3≤log2m≤3，所以2－3≤m≤23，即≤m≤8.

答案　≤m≤8

11．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.

解　∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，

又|－1＋i|＝，由|z－1|＝|－1＋i|，

得＝，解得a＝±1，∴z＝±i.

12．(创新拓展)已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？

解　由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，

∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．

设z＝x＋yi(x、y∈R)，

则

消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．

∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，

方程为y＝－x＋2(x≥3)．