数学选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试同步达标检测题

选修2－2导数及其应用测试

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

1、函数在处取到极值,则的值为     (     )

A.               B.            C.             D.

2、若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是(     )

3、已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4、对于上可导的任意函数,若满足,则必有(     )

A.   B.

C.   D.

5、已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为(      )

    A.           B.           C.         D.

6、函数的定义域为开区间,导函数在

内的图象如图所示,则函数在开区间内有极

小值点(     )

A.个          B.个         C.个         D.个

7、作为对数运算法则:()是不正确的.但对一些特殊值是成立的,例如:.如果正实数、使得成立,则函数的递减区间是      (       )

A.        B.         C.、        D.

8、函数在上取最大值时,的值为(　 　)

A.      B.      C.      D.

9、的单调减区间是(    )

A.(   B.          C.(,  D.

10、某工厂生产的机器销售收入(万元)是产量(千台)的函数:,生产总成本(万元)也是产量(千台)的函数;,为使利润最大,应生产(    )

A.6千台   B. 7千台         C.8千台   D.9千台

11、函数 (,则(       )

A.           B.

C.           D.大小关系不能确定

12、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,

,且的解集为 (    )

 A. B.

 C. D.

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、 若函数在处有极大值,则常数的值为_________

14、设,当时,恒成立,则实数的取值范围为             .

15、已知二次函数的导函数,且的值为整数,当时,的值为整数的个数有      个.

16、对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则

数列的前项和的公式是　     　

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(12分)

已知函数在与时都取得极值

(1)求的值与函数的单调区间

(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围 

18、(12分)

已知,,是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1)在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是,若存在,求出,若不存在,说明理由.

19、(12分)

某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知,,=,曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在上,且一个顶点落在曲线段上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到).

20、(12分)

设,函数.

(1)若是函数的极值点,求的值;

(2)若函数,在处取得最大值,求的取值范围.

21、(12分)

已知函数(为实常数).

(1)若,作函数的图像;

(2)设在区间上的最小值为,求的表达式;

22、(14分)

已知函数.

(1)判断在定义域上的单调性;

(2)若在上的最小值为2,求的值.

参考答案

1.B ,,∴.

2.A   对称轴,直线过第一、三、四象限

3.B  在恒成立,

4.D  当时,,函数在上是增函数;当时,,在上是减函数,故当时取得最小值,即有

得

5.C 对于任意实数都有

得

∴当且仅当时取等号.

6.D 极小值点应有先减后增的特点,即,合条件的只有1点.

7.C 可得,即在、都是减函数.

8.B ,解得,解得

9.D   ,解得,所以单调区间是

10.A  利润,解得

解得当时,取得最大值.

11.C  ,当时,,即在区间上单调递减, 又

12.A  记,易知在上为奇函数,且时,单调递减,结合图像,易得,即的解集为

13. ,时取极小值

14. 当时,用导数法可得,∴.

15.1 设,则,∴.

有,当时,

,又,只有1个整数.

16.  ,切线方程为,

令,求出切线与轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前项和

17.解:(1)

由,得

,函数的单调区间如下表:

所以函数的递增区间是与,递减区间是;

(2),当时,

为极大值,而,则为最大值,要使恒成立,

则只需要,得 

∴的取值范围是.

18.解:设,∵在上是减函数,在上是增函数,

∴在上是减函数,在上是增函数,

∴,∴,解得

经检验,时,满足题设的两个条件.

19.解:以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,

则抛物线方程令为.而,代入则有.

令,易求工业区面积.求导解得.

当时,,是的增函数;当时,,是的减函数.

所以当时,取得最大值,且 .

所以,把工业园区规划成长为,宽为的矩形时,工业园区的用地面积最大,最大的用地面积约为.

20、解:(1).

因为是函数的极值点,所以,即,因此.

经验证,当时,是函数的极值点.

(2)由题设,.

当在区间上的最大值为时,对一切都成立,

即对一切都成立.令,,则

由,可知在上单调递减,

所以, 故a的取值范围是

21.解:(1)当时,

.作图(如右所示)

(2)当时,.

若,则在区间上是减函数,

.

若,则,图像的对称轴是直线.

当时,在区间上是减函数,.

当,即时,在区间上是增函数,.

当,即时,.

当,即时,在区间上是减函数,.

综上可得,,

22.解:(1)由题意得的定义域为,.

①当时,,故在上为增函数;

②当时,由得;由得;由得;

∴在上为减函数;在上为增函数.

  所以,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数.

(2)∵,.由(1)可知:

①当时,在上为增函数,,得,矛盾!

②当时,即时,在上也是增函数,

,∴(舍去).

③当时,即时,在上是减函数,在上是增函数,

∴,得(舍去).

④当时,即时,在上是减函数,有,

∴.

综上可知:.