人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用同步训练题

1.3　导数在研究函数中的应用

1．3.1　函数的单调性与导数

1．在下列结论中，正确的有

(　　)．

(1)单调增函数的导数也是单调增函数；

(2)单调减函数的导数也是单调减函数；

(3)单调函数的导数也是单调函数；

(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A．0个  B．2个  C．3个  D．4个

解析　分别举反例：(1)y＝ln x．　(2)y＝(x>0)．

(3)y＝2x.　(4)y＝x2，故选A.

答案　A

2．函数y＝x2－ln x的单调减区间是

(　　)．

A．(0,1)   B．(0,1)∪(－∞，－1)

C．(－∞，1)   D．(－∞，＋∞)

解析　∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0<x<1或x<－1.

又∵x>0，∴0<x<1，故选A.

答案　A

3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是

(　　)．

A．a≥1   B．a＝1 

C．a≤1   D．0<a<1

解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.

答案　A

4．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．

解析　f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或<x<2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．

答案　(－∞，－1)

5．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．

解析　f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.

答案　(0，＋∞)

6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．

证明　设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，

f′(x)＝1－＝，由x>1，知f′(x)>0.

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

又f(1)＝1－ln 2>0，

即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．

7．当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是

(　　)．

A．(2，＋∞)   B．(0,2)

C．(，＋∞)   D．(0，)

解析　f′(x)＝1－＝＝.

由f′(x)<0且x>0得0<x<，故选D.

答案　D

8．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象

 如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)．

解析　当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．

答案　D

9．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围是________．

解析　∵y′＝cos x＋a>0，∴a>－cos x，对x∈R恒成立．∴a>1.

答案　(1，＋∞)

10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.

解析　∵f(x)＝x2＋2xf′(x)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，

∴f′(1)＝2×1＋2f(1)，∴f′(1)＝－2.

∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.

答案　－4

11．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．

解　f′(x)＝3x2＋a.

∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，

令f′(x)>0，则3x2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．

12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象：

(1)y＝x＋；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.

解　(1)函数y＝x＋的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

∵y＝x＋，∴y′＝1－.

当y′＞0，即x＞3或x＜－3时，函数y＝x＋单调递增；

当y′＜0，即－3＜x＜0或0＜x＜3时，

函数y＝x＋单调递减．

故函数y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．

函数y＝x＋的大致图象如图(1)所示．

(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.

∵y＝ln(2x＋3)＋x2，

∴y′＝＋2x＝＝.

当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；

当y′＜0，即－1＜x＜－时，

函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．

故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.

函数y＝ln(2x＋3)＋x2的大致图象如图(2)所示.