人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试综合训练题

人教版B数学选修2-1 3.2.5能力特训

空间直角坐标系中，已知A(2，3，4)，B(－2，1，0)，C(1，1，1)，那么点C到线段AB中点的距离是(　　)

A．1　　　　　　　　　　　　　 B.

C．2   D.

答案：B

已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为(　　)

A.   B.

C.   D．3

解析：

选A.如图，作AE⊥α于E，

∵AB∥CD，AB⊄α，CD⊂α，∴AB∥α，∴点A到平面α的距离就是AB到平面α的距离，又AC＝＝2，∴AE＝ACsin60°＝2×＝.

已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为________．

解析：∵＝(1，2，－4)，∴点P到α的距离d＝＝＝.

答案：

在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1和C1D1的中点，则直线EF到平面B1D1D的距离为________．

解析：设B1D1中点为O，EF中点为K，则KO即为EF到平面B1D1D的距离，KO＝C1O＝.

答案：

[A级　基础达标]

设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长为(　　)

A．2   B．2

C．2   D．4

解析：选C.由已知得∠APB＝120°，在△APB中，由余弦定理得AB2＝42＋22－2×4×2cos120°＝28.

∴AB＝2.

正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由题意知A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝.

又∵O是A1C1的中点，

∴O到平面ABC1D1的距离为A1到平面ABC1D1距离的.

∴距离为，故选B.

已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为(　　)

A. cm   B. cm

C. cm   D. cm

解析：选C.

如图所示，设AB和CD在α内的射影长分别为3x和5x，则有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝，则α、β间的距离为 cm.故选C.

在三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于________．

解析：利用VA­PBC＝VP­ABC可求得点P到平面ABC的距离为.

答案：

已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为________．

解析：设AB到α的距离为h，CB＝＝2h，AC＝＝h，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(h)2＋(2h)2＝62，解得h＝.

答案：

正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C、D1A1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．

解：

以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图．

则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，

∴＝(1，－2，1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－1，0)．

设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量．

则由得

从而有x＝y＝z，∴可取n＝(1，1，1)．

在n上射影的长度为＝＝.

即点A到平面EFG的距离为.

[B级　能力提升]

在三棱锥P­ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝13，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A．12   B．6

C．3   D.

解析：选A.设BC中点为D，则由已知可证∠PDB＝∠PDC＝∠PDA，PD⊥平面ABC，PD就是所求距离，在Rt△ABC中，DA＝BC＝＝5，PD＝＝12.

如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为(　　)

解析：选C.在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，

∵PM＝PB，

故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)，故应选C.

已知二面角α－l－β为45°，A∈α，点A到棱l的距离等于a，则点A到平面β的距离为________．

解析：如图，过A作AB⊥l，AC⊥β，垂足分别为B，C，则AB＝a.连接CB，则∠ABC＝45°，在Rt△ACB中，AC＝a.即点A到平面β的距离为a.

答案：a

正三棱柱ABC－A1B1C1中各棱长为1，D是AB的中点，求BC1到平面A1CD的距离．

解：

如图，以D为原点，分别以DC、DB所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，连接AC1与A1C交于E，则E为AC1中点．连接ED，又∵D为AB中点，∴ED∥C1B，

∴BC1∥平面A1CD，

∴BC1到平面A1CD的距离等于B到面A1CD的距离，

∵C，A1，B(0，，0)，

∴＝，＝，＝，

设平面A1CD的法向量n＝(x，y，z)，

由得

令y＝2，得x＝0，z＝1，∴n＝(0，2，1)，

∴B到平面A1CD的距离d＝＝＝，

∴BC1到平面A1CD的距离为.

(创新题)

在边长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．

(1)求证：CF∥平面A1DE.

(2)求点A到平面A1DE的距离．

解：(1)证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)，

则＝(2，0，2)，＝(1，2，0)．

设平面A1DE的法向量n＝(a，b，c)，

则，

取n＝(－2，1，2)．

又＝(0，－2，1)，

故·n＝－2＋2＝0，

∴⊥n，

则CF∥平面A1DE.

(2)A(2，0，0)，点A到平面A1DE的距离是

d＝＝.