高中数学人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试复习练习题

人教版B数学选修2-1 3.1.3能力特训

在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　　　　 B．0

C．－1   D．－2

解析：选B.a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.

(2012·太原高二期末)设空间有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等腰直角三角形   D．等边三角形

解析：选B.∵(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝AB2－AC2＝0，∴||＝||.∴△ABC是等腰三角形．

已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．

解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.

答案：－2

已知|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角大小为________．

解析：∵a与2b－a互相垂直，∴a·(2b－a)＝0，

∴a·b＝a2＝|a|2＝2.

∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.

答案：

[A级　基础达标]

设a，b，c是空间任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(a·b)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的有(　　)

A．①②   B．②③

C．③④   D．②④

解析：选D.①③不正确，②④正确．

在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　)

A.与

B.与

C.与

D.与

解析：选B.〈，〉＝〈，〉＝45°；

〈，〉＝180°－〈，〉＝135°；

〈，〉＝〈，〉＝90°；〈，〉＝180°.

如图，已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则数量积是a2的是(　　)

A．2·

B．2·

C．2·

D．2·

解析：选B.2·＝2||||cos〈，〉＝2a2·cos60°＝a2，故选B.

已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．

解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，

即a2＋λb2＋(λ＋1)a·b＝0.

∴(3)2＋42·λ＋(λ＋1)·3×4×cos135°＝0.

解得λ＝－.

答案：－

已知空间向量a，b，c两两夹角都是60°，其模都是1，则|a－b＋2c|＝________．

解析：∵(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－1＋2－2＝5，

∴|a－b＋2c|＝.

答案：

已知正四面体OABC的棱长为1.求：

(1)·；

(2)(＋)·(＋)；

(3)|＋＋|.

解：(1)·＝||·||·cos∠AOB

＝1×1×cos60°＝.

(2)(＋)·(＋)

＝(＋)·(－＋－)

＝(＋)·(＋－2)

＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°

＝1.

(3)|＋＋|

＝

＝＝.

[B级　能力提升]

在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于(　　)

A.   B.

C．－   D．0

解析：选D.∵OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，

∴·＝·(－)

＝·－·

＝||||·cos〈，〉－||||·cos〈，〉＝0，故选D.

设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)

A．钝角三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．不确定

解析：选B.如图所示，

设＝a，＝b，＝c，

∴·＝(a－b)·(c－b)

＝a·c－b·c－a·b＋b2

＝b2＞0.

同理·＞0，·＞0.

∴△BCD的各内角均为锐角，即△BCD为锐角三角形．

在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________．

解析：

如图，设＝b，＝c，＝d，

则＝d－c，＝d－b，＝c－b，

所以原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c·(d－b)＝0.

答案：0

如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝60°，PA＝2，求AC与PB所成角的余弦值．

解：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥BC，则·＝0，·＝0.

又∠ABC＝60°，

∴·＝||||·cos〈，〉

＝3cos120°＝－.

又∵·＝(＋)·(＋)

＝·＋||2＋·＋·

＝||2－＝1－＝－.

＝＋，∴||＝

＝

＝＝.||＝.

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∴AC与PB所成角的余弦值为.

(创新题)

如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD；

(2)求与夹角的余弦值．

解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.＝b－a，＝a－c，且a·b＝a·c＝b·c＝0，则有·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝b2－a2＋b·c－a·c＝|b|2－|a|2＝0.

同理，·＝0.

∴⊥，⊥，即AC1⊥BD，AC1⊥A1B，

又BD∩A1B＝B，∴AC1⊥平面A1BD.

(2)设正方体的棱长为a，

＝＋＝－c＋(a－b)，

＝＋＝－b＋(c－a)，

∴||2＝

＝a2＋a2＋a2＝a2，

∴||＝a.

同理||＝a.

又·

＝·

＝－|c|2－|a|2＋|b|2＝－a2，

∴cos〈，〉＝＝－.