数学第三章 空间向量与立体几何综合与测试精练

人教版B数学选修2-1 3.1.2能力特训

已知空间向量a，b不共线，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共线，则k的值是(　　)

A．0　　　　　　　　　　　 B．1

C．－1   D．2

解析：选C.若p，q共线，则存在唯一的实数x，使p＝xq，即ka＋b＝xa－xk2b⇒⇒k＝－1.

已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)

A．a   B．b

C．a＋2b   D．a＋2c

解析：选D.构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D选项满足条件．

对于不共面的三个向量a，b，c，如果xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________．

答案：0　0　0

设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：

①{a，b，x}，②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．

其中可以作为空间基底的向量组有________．

解析：

如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.

由图知，A，B′，C，D′四点不共面，故向量x，y，z也不共面．

同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以，可以作为空间基底的向量组有②③④.

答案：②③④

[A级　基础达标]

对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量   B．共线向量

C．不共面向量   D．既不共线也不共面向量

解析：选A.∵2a－b可用a，b线性表示，

∴2a－b与a，b一定共面．

若a、b是平面α内的两个向量，则(　　)

A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0

C．若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

D．若a、b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

解析：选D.当a与b是共线向量时，A不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确；若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，故选D.

(2012·山东威海高二期末)在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A.a＋b＋c   B.a＋b＋c

C．a＋b＋c   D.a＋b＋c

解析：选B.如图，连接A′C′，则＝＋＝＋＝a＋b＋c.

非零空间向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________．

解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，

则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

∴∴k＝±1.

答案：±1

(2012·杭州高二检测)已知A、B、C三点不共线，M、A、B、C四点共面，则对平面ABC外的任一点O，有＝＋＋t，则t＝________．

解析：∵M、A、B、C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.

答案：

已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，＝＋＋，点P是否一定与A、B、C共面？

解：原式变形为

＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，

所以－＝＋，即＝＋，

所以点P与A、B、C共面．

[B级　能力提升]

已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)

A．x＝1，y＝1   B．x＝1，y＝

C．x＝，y＝   D．x＝，y＝1

解析：选C.如图长方体

ABCD­A1B1C1D1，

∴＝＋

＝＋(＋)

＝＋＋，

∴x＝y＝，故选C.

空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则为(　　)

A.a－b＋c   B．－a＋b＋c

C.a＋b－c   D.a＋b－c

解析：选B.＝＋＋

＝＋－＋(－)

＝－＋＋＝－a＋b＋c.

正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________．

解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EFA1D，

∴＝，

∴＋λ＝0，

∴λ＝－.

答案：－

已知斜三棱柱ABC­A′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k(0≤k≤1)．

求证：与向量a和c共面．

证明：＝k＝kb＋kc，

＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)

＝(1－k)a＋kb，

＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc，

因此与向量a和c共面．

(创新题)

如图所示，已知ABCD­A1B1C1D1是平行六面体．

(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．

解：(1)取DD1的中点G，过点G作DC的平行线GH，使GH＝DC，

连接AH(如图)，则＋＋＝；

(2)＝＋

＝＋

＝(－)＋(＋)

＝＋＋.

∴α＝，β＝，γ＝.