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高中数学人教版新课标B选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步练习题
展开(时间:120分钟;满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
eq \a\vs4\al(1.)若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则( )
A.x=1,y=1 B.x=eq \f(1,2),y=-eq \f(1,2)
C.x=eq \f(1,6),y=-eq \f(3,2) D.x=-eq \f(1,6),y=eq \f(3,2)
答案:C
eq \a\vs4\al(2.)向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则( )
A.a与b共线 B.a与b同向
C.a与b反向 D.a与b共面
解析:选A.∵a,b不能与任何向量构成空间基底,故a与b一定共线.
eq \a\vs4\al(3.)已知向量a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则a与b的夹角为( )
A.0° B.45°
C.90° D.180°
解析:选C.已知a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),
则cs〈a,b〉=0,从而得出a与b的夹角为90°.
eq \a\vs4\al(4.)已知A(1,2,1),B(-1,3,4),C(1,1,1),eq \(AP,\s\up6(→))=2eq \(PB,\s\up6(→)),则|eq \(PC,\s\up6(→))|为( )
A.eq \f(\r(77),3) B.eq \r(5)
C.eq \f(\r(77),9) D.eq \f(77,9)
解析:选A.设P(x,y,z),由eq \(AP,\s\up6(→))=2eq \(PB,\s\up6(→))得:
(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
∴x=-eq \f(1,3),y=eq \f(8,3),z=3,即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3),\f(8,3),3)),∴eq \(PC,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),-\f(5,3),-2)),
∴|eq \(PC,\s\up6(→))|=eq \f(\r(77),3).故选A.
eq \a\vs4\al(5.)
如图,已知空间四边形OABC中,M、N分别是对边OA、BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,现用基底{a,b,c}表示向量eq \(OG,\s\up6(→)),eq \(OG,\s\up6(→))=x a+y b+z c,则x,y,z的值分别为( )
A.x=eq \f(1,3),y=eq \f(1,3),z=eq \f(1,3)
B.x=eq \f(1,3),y=eq \f(1,3),z=eq \f(1,6)
C.x=eq \f(1,3),y=eq \f(1,6),z=eq \f(1,3)
D.x=eq \f(1,6),y=eq \f(1,3),z=eq \f(1,3)
解析:选D.由线段中点的向量表达式,得eq \(OG,\s\up6(→))=eq \(OM,\s\up6(→))+eq \(MG,\s\up6(→))=eq \(OM,\s\up6(→))+eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(2,3)(eq \(MO,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(CN,\s\up6(→)))
=eq \f(1,2)a+eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)a+c+\f(1,2)(b-c)))
=eq \f(1,2)a-eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)c+eq \f(1,3)b-eq \f(1,3)c
=eq \f(1,6)a+eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c,∴x=eq \f(1,6),y=eq \f(1,3),z=eq \f(1,3).
eq \a\vs4\al(6.)在以下命题中,不正确的个数为( )
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若eq \(OP,\s\up6(→))=2eq \(OA,\s\up6(→))-2eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→)),则P,A,B,C四点共面;
④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;
⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选C.①|a|-|b|=|a+b|⇒a与b的夹角为π,故是充分不必要条件,故不正确;②b需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的性质知,不正确,故选C.
eq \a\vs4\al(7.)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF与BC1所成的角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析:选B.以点B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设各棱长为2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),B(0,0,0)
则eq \(EF,\s\up6(→))=(0,-1,1),eq \(BC1,\s\up6(→))=(2,0,2),
∴cs〈eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(BC1,\s\up6(→))〉=eq \f(2,\r(2)×2\r(2))=eq \f(1,2),
∴〈eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(BC1,\s\up6(→))〉=60°,
所以直线EF与BC1所成的角为60°.
eq \a\vs4\al(8.)已知ABCD是一个四面体,O为△BCD内一点,则“eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))”是“O为△BCD的重心”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选C.设BC中点为E,若O为△BCD的重心,则eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(ED,\s\up6(→)),eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))),又∵eq \(ED,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→)),
∴eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→)))=eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))).故选C.
eq \a\vs4\al(9.)已知A(-4,6,-1)、B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是( )
A.(0,1,6)
B.(-1,2,-1)
C.(-15,4,36)
D.(15,4,-36)
解析:选D.设法向量为(x,y,z),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-4x+6y-z=0,,4x+3y+2z=0,))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(15,4)y,,z=-9y.))令y=4,则得法向量(15,4,-36).
eq \a\vs4\al(10.)四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,eq \(AB,\s\up6(→))=(2,-1,-4),eq \(AD,\s\up6(→))=(4,2,0),eq \(AP,\s\up6(→))=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )
A.相交 B.垂直
C.不垂直 D.成60°角
解析:选B.∵eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))=0,∴PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A.∴PA⊥平面ABCD.
eq \a\vs4\al(11.)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),3)
解析:选B.设AE与平面SBC所成的角为θ,以底面中心O为原点,以射线OA为x轴,以射线OB为y轴,以射线OS为z轴,建立空间直角坐标系,设底面边长为eq \r(2),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2),\f(1,2))),所以eq \(BC,\s\up6(→))=(-1,-1,0),eq \(SB,\s\up6(→))=(0,1,-1),eq \(EA,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-\f(1,2),-\f(1,2))),设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))=0,,n·\(SB,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-x-y=0,,y-z=0,))令x=1,所以n=(1,-1,-1),因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))=eq \f(\(EA,\s\up6(→))·n,\a\vs4\al(|\(EA,\s\up6(→))||n|))=eq \f(2\r(2),3),所以csθ=eq \f(1,3).故选B.
eq \a\vs4\al(12.)如图所示,在四面体PABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角BAPC的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(7),7) D.eq \f(5,7)
解析:选C.如图所示,作BD⊥AP于D,作CE⊥AP于E.
设AB=1,
则易得CE=eq \f(\r(2),2),EP=eq \f(\r(2),2),
PA=PB=eq \r(2),可以求得BD=eq \f(\r(14),4),
ED=eq \f(\r(2),4),因为eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DE,\s\up6(→))+eq \(EC,\s\up6(→)),
所以BC2=BD2+DE2+EC2+2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))+2eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))+2eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)),
所以eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=-eq \f(1,4),
所以cs〈eq \(BD,\s\up6(→)),eq \(EC,\s\up6(→))〉=-eq \f(\r(7),7),由图知,二面角B-AP-C的余弦值为eq \f(\r(7),7).故选C.
二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)
eq \a\vs4\al(13.)若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________.
解析:∵a-2b=(8,-5,13),
∴|a-2b|= eq \r(82+(-5)2+132)=eq \r(258).
答案:eq \r(258)
eq \a\vs4\al(14.)已知a=(1,2,-2),若|b|=2|a|,且a∥b,则b=________.
解析:∵a∥b,∴b=λa=(λ,2λ,-2λ)(λ∈R),
又|b|=2|a|,
∴λ=±2,∴b=(2,4,-4)或b=(-2,-4,4).
答案:(2,4,-4)或(-2,-4,4)
eq \a\vs4\al(15.)如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))}为基底,则eq \(GE,\s\up6(→))=________.
解析:eq \(GE,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))-eq \(AG,\s\up6(→))
=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DE,\s\up6(→))-eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))
=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))
=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
=-eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
答案:-eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
eq \a\vs4\al(16.)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为________.
解析:利用空间直角坐标系转化为求向量eq \(B1C,\s\up6(→))与eq \(C1D,\s\up6(→))的夹角.建立如图所示的空间直角坐标系,
可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.
设B1C1=1,则CC1=eq \r(3)=DD1,
∴C1D1=eq \r(3),
可知B1(eq \r(3),0,0),C(eq \r(3),1,eq \r(3)),C1(eq \r(3),1,0),D(0,1,eq \r(3)),
∴eq \(B1C,\s\up6(→))=(0,1,eq \r(3)),eq \(C1D,\s\up6(→))=(-eq \r(3),0,eq \r(3)),
∴cs〈eq \(B1C,\s\up6(→)),eq \(C1D,\s\up6(→))〉=eq \f(\(B1C,\s\up6(→))·\(C1D,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(B1C,\s\up6(→))||\(C1D,\s\up6(→))|))=eq \f(3,2\r(6))=eq \f(\r(6),4).
答案:eq \f(\r(6),4)
三、解答题(本大题共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
eq \a\vs4\al(17.)设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求λ的值;
(2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求λ的值.
解:(1)∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),
∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)
=(1,5,-1)-(-6,9,15)=(7,-4,-16).
λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ,5λ,-λ)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5).
∵(λa+b)∥(a-3b),
∴eq \f(λ-2,7)=eq \f(5λ+3,-4)=eq \f(-λ+5,-16),解得λ=-eq \f(1,3).
(2)由(a-3b)⊥(λa+b)
⇔(7,-4,-16)·(λ-2,5λ+3,-λ+5)=0
⇔7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=eq \f(106,3).
eq \a\vs4\al(18.)已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,M、N分别为PC、PD上的点,且M分PC成定比2,N为PD的中点,求满足eq \(MN,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AD,\s\up6(→))+zeq \(AP,\s\up6(→))的实数x,y,z的值.
解:法一:如图所示,
取PC的中点E,连接NE,
则eq \(EN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
eq \(EM,\s\up6(→))=eq \(PM,\s\up6(→))-eq \(PE,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(PC,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))
=eq \f(1,6)eq \(PC,\s\up6(→)).
连接AC,则eq \(PC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AP,\s\up6(→)),
∴eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(EN,\s\up6(→))-eq \(EM,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AP,\s\up6(→)))
=-eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(AP,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AD,\s\up6(→))、eq \(AP,\s\up6(→))不共面,
∴x=-eq \f(2,3),y=-eq \f(1,6),z=eq \f(1,6).
法二:eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(PN,\s\up6(→))-eq \(PM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(PD,\s\up6(→))-eq \f(2,3)eq \(PC,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))-eq \f(2,3)(eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))
=-eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(2,3)(-eq \(AP,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))
=-eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(AP,\s\up6(→)),
∵eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AD,\s\up6(→))、eq \(AP,\s\up6(→))不共面,
∴x=-eq \f(2,3),y=-eq \f(1,6),z=eq \f(1,6).
eq \a\vs4\al(19.)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以A为端点的三条棱长均为1,且两两夹角为eq \f(π,3).
(1)求AC1的长;
(2)求AC1与面ABCD所成角的余弦值.
解:(1)eq \(AC1,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)),
eq \(AC1,\s\up6(→))2=(eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))2,
∵〈eq \(AA1,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))〉=〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))〉=〈eq \(AA1,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))〉=eq \f(π,3),
∴(eq \(AC1,\s\up6(→)))2=6,∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|=eq \r(6).
(2)∵∠A1AD=∠A1AB,∴AC1在底面的射影为AC,
则∠C1AC即为AC1与面ABCD所成的角.
cs∠C1AC=cs〈eq \(AC1,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AC1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AC1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|))
=eq \f((\(AA1,\s\up6(→))+\(AB,\s\up6(→))+\(AD,\s\up6(→)))·(\(AB,\s\up6(→))+\(AD,\s\up6(→))),\a\vs4\al(\r(6)·|\(AC,\s\up6(→))|)),
eq \(AC2,\s\up6(→))=(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))2=3,
∴cs∠C1AC=eq \f(2\r(2),3).
eq \a\vs4\al(20.)如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=eq \r(2).
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
解:(1)证明:连接OC,
∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=eq \r(3).而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,eq \r(3),0),A(0,0,1),eq \(BA,\s\up6(→))=(-1,0,1),eq \(CD,\s\up6(→))=(-1,-eq \r(3),0),
∴cs〈eq \(BA,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))〉=eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(BA,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|))=eq \f(\r(2),4),
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
eq \a\vs4\al(21.)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2eq \r(2),C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=eq \r(5).
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(2)求二面角AA1C1B1的正弦值.
解:
如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.
依题意得A(2eq \r(2),0,0),B(0,0,0),C(eq \r(2),-eq \r(2),eq \r(5)),A1(2eq \r(2),2eq \r(2),0),B1(0,2eq \r(2),0),C1(eq \r(2),eq \r(2),eq \r(5)).
(1)易得eq \(AC,\s\up6(→))=(-eq \r(2),-eq \r(2),eq \r(5)),eq \(A1B1,\s\up6(→))=(-2eq \r(2),0,0),于是cs〈eq \(AC,\s\up6(→)),eq \(A1B1,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(A1B1,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AC,\s\up6(→))||\(A1B1,\s\up6(→))|))=eq \f(4,3×2\r(2))=eq \f(\r(2),3),
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为eq \f(\r(2),3).
(2)易知eq \(AA1,\s\up6(→))=(0,2eq \r(2),0),eq \(A1C1,\s\up6(→))=(-eq \r(2),-eq \r(2),eq \r(5)).
设平面AA1C1的法向量m=(x,y,z),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(A1C1,\s\up6(→))=0,,m·\(AA1,\s\up6(→))=0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\r(2)x-\r(2)y+\r(5)z=0,,2\r(2)y=0.))不妨令x=eq \r(5),可得m=(eq \r(5),0,eq \r(2)).同样地,设平面A1B1C1的法向量n=(x1,y1,z1),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))=0,,n·\(A1B1,\s\up6(→))=0,))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\r(2)x1-\r(2)y1+\r(5)z1=0,,-2\r(2)x1=0.))不妨令y1=eq \r(5),可得n=(0,eq \r(5),eq \r(2)),于是cs〈m,n〉=eq \f(m·n,|m||n|)=eq \f(2,\r(7)×\r(7))=eq \f(2,7),从而sin〈m,n〉=eq \f(3\r(5),7).
所以二面角AA1C1B1的正弦值为eq \f(3\r(5),7).
eq \a\vs4\al(22.)
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=eq \r(6),点E是棱PB的中点.
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=eq \r(3),求二面角AECD的平面角的余弦值.
解:
(1)如图,以A为坐标原点,射线AB、AD,AP分别为x轴、y轴,z轴正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0,a,0),则B(eq \r(6),0,0),C(eq \r(6),a,0),P(0,0,eq \r(6)),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2),0,\f(\r(6),2))).
因此,eq \(AE,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2),0,\f(\r(6),2))),eq \(BC,\s\up6(→))=(0,a,0),
eq \(PC,\s\up6(→))=(eq \r(6),a,-eq \r(6)).
则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))=0,所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为|eq \(AE,\s\up6(→))|=eq \r(3).
(2)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
∵eq \(AE,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2),0,\f(\r(6),2))),eq \(AC,\s\up6(→))=(eq \r(6),eq \r(3),0),
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)x1+\f(\r(6),2)z1=0,,\r(6)x1+\r(3)y1=0.))
令x1=-1,得y1=eq \r(2),z1=1,
∴n1=(-1,eq \r(2),1).
设平面EDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
∵eq \(EC,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2),\r(3),-\f(\r(6),2))),eq \(CD,\s\up6(→))=(-eq \r(6),0,0),
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)x2+\r(3)y2-\f(\r(6),2)z2=0,,-\r(6)x2=0,))
令z2=eq \r(2),得y2=1.
∴n2=(0,1,eq \r(2)).
故cs〈n1,n2〉=eq \f(n1·n2,|n1||n2|)=eq \f(\r(6),3).
所以二面角AECD的平面角的余弦值为eq \f(\r(6),3).
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