高中数学第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理导学案

学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

预学案

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各        和它所对角的    的    相等，即      =        =       ．

复习2：在△ABC中，已知，A=45， C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

问题：在中，、、的长分别为、、.

 ∵                ，

∴

同理可得：    ， ．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的    等于其他两边的      的和减去这两边与它们的夹角的       的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

，                      ，                            ．

[理解定理]

（1）若C=，则   ，这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC中，，，，求．

（2）△ABC中，，，，求．

※ 典型例题（探究案）

例1. 在△ABC中，已知，，，求和．

变式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．

例2. 在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．

变式：在ABC中，若，求角A．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※     知识拓展

在△ABC中，若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角．

※ 当堂检测

1. 已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（    ）.

  A.      B.     C.    D.

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（    ）

A．     B．    C．    D．

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（    ）.

A．        B．＜x＜5　C． 2＜x＜           D．＜x＜5

4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|－|＝________．

5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于        ．

课后作业

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.