高中人教版新课标A1.1 正弦定理和余弦定理导学案及答案

1.1.2　余弦定理(二)

课时目标　1.熟练掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．

1．正弦定理及其变形

(1)＝＝＝______.

(2)a＝________，b＝________，c＝________.

(3)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝____________________________________.

(4)sin A∶sin B∶sin C＝________.

2．余弦定理及其推论

(1)a2＝________________.

(2)cos A＝________________.

(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________；c2>a2＋b2⇔C为________；c2<a2＋b2⇔C为________．

3．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：

(1)A＋B＋C＝____，＝__________.

(2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.

(3)sin ＝________，cos ＝__________.

一、选择题

1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)

A．60°                              B．90°

C．120°                             D．150°

2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)

A．等腰直角三角形                  B．直角三角形

C．等腰三角形                      D．等边三角形

 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为(　　)

A．30°                             B．60°

C．90°                             D．120°

4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)

A．等腰三角形                      B．直角三角形

C．等腰直角三角形                  D．等边三角形

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　　)

A．a>b

B．a<b

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)

A．锐角三角形                      B．直角三角形

C．钝角三角形                      D．由增加的长度确定

二、填空题

7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.

8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．

9．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．

三、解答题

11．在△ABC中，求证：＝.

12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cos B=,且·＝－21.

(1)求△ABC的面积；

(2)若a＝7，求角C.

能力提升

13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)

A．0<C≤                            B．0<C<

C.<C<                              D.<C≤

14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝.

(1)求＋的值；

(2)设·＝，求a＋c的值．

1．解斜三角形的常见类型及解法

在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：

2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径

(1)化边为角；

(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1．1.2　余弦定理(二)

知识梳理

1．(1)2R　(2)2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C　(3)　　

(4)a∶b∶c　2.(1)b2＋c2－2bccos A　(2)

(3)直角　钝角　锐角　3.(1)π　－　(2)sin C　－cos C  －tan C　(3)cos 　sin

作业设计

1．C　[∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，

∴a2＋b2－c2＝－ab，

即＝－，

∴cos C＝－，∴∠C＝120°.]

2．C　[∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，

∴sin Acos B－cos Asin B＝0，

即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]

 3.B　[∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，

不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，

则cos C＝＝－.

∴C＝120°.

∴最小外角为60°.]

4．D　[∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.

∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]

5．A　[在△ABC中，由余弦定理得，

c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.

∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.

∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]

6．A　[设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，

则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2

＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2

＝2(a＋b－c)x＋x2>0，

∴c＋x所对的最大角变为锐角．]

7.

解析　由题意：a＋b＝5，ab＝2.

由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，

∴c＝.

8．2<a<8

解析　∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.

∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，

化简得：0<a<8.又∵a＋2a－1>2a＋1，

∴a>2，∴2<a<8.

9．12

解析　S△ABC＝AB·AC·sin A＝AB·AC·sin 60°＝2，

∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A

＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，

∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，

∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.

10.

解析　S△ABC＝bcsin A＝c＝，

∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a＝.

∴2R＝＝＝，

∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.

11．证明　右边＝＝·cos B－·cos A

＝·－·＝－＝＝左边．

所以＝.

12.解  （1）∵·＝－21，·＝21.

·＝||·||·cos B＝accos B＝21.

∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝.

∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14.

(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.

由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32，

∴b＝4.由正弦定理：＝.

∴sin C＝sin B＝×＝.

∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角．

∴C＝45°.

13．A　[方法一　(应用正弦定理)

∵＝，∴＝

∴sin C＝sin A，∵0<sin A≤1，

∴0<sin C≤.

∵AB<BC，∴C<A，∴C为锐角，

∴0<C≤.

方法二　(应用数形结合)

如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆， 

则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，

∴0<C≤.]

14．解　(1)由cos B＝，得sin B＝＝.

由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C.

于是＋＝＋＝＝

＝＝＝.

(2)由·＝得ca·cos B＝，

由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2.

由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，

得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，

∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.