数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理学案及答案

第一章　解三角形

§1.1　正弦定理和余弦定理

1.1.1　正弦定理(一)

自主学习

1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：

(1)A＋B＝90°，0°<A<90°，0°<B<90°；

(2)a2＋b2＝c2(勾股定理)；

(3)sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝；

(4)＝c，＝c，＝c.

3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.

已知△ABC的三个内角A、B、C及对应的三边a、b、c，试用向量法证明正弦定理．

证明　(1)若△ABC为直角三角形，不妨设C为直角．

如图所示，根据正弦函数的定义，

＝sin A，＝sin B，

所以＝＝c＝2R

(2R为外接圆直径)．

∵C＝90°，

∴sin C＝1，＝c＝2R.

∴＝＝＝2R.

（2）若△ABC为锐角三角形，过A点作单位向量i⊥，则有：

i·＝i·(－)＝i·－i·，

∵i⊥

∴i·＝0，

∴i·＝i·，

即ccos(90°－A)＝acos(90°－C)，

∴csin A＝asin C，

∴＝.

同理可证：

＝；＝.

∴＝＝.

(3)若△ABC为钝角三角形，可仿(2)证明．

综上，＝＝.

对点讲练

已知两角和一边解三角形

例1　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．

分析　要注意在△ABC中隐含条件A＋B＋C＝180°的运用．

解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，

所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.

由正弦定理＝＝，

得b＝a·＝5·＝5；

c＝a·＝5·＝5·

＝5·＝(＋)．

总结　已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．

变式训练1　在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．

解　∵＝＝，

∴b＝＝＝＝4.

∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，

∴c＝＝＝＝2＋2.

已知两边及其中一边的对角解三角形

例2　在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．

分析　已知三角形的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．

解　a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°.

又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，

所以本题有两解，由正弦定理得：

sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.

当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；

当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.

所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，

C＝30°，c＝2.

总结　已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．

变式训练2　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c等于(　　)

A．1      B．2      C.－1      D.

答案　B

解析　由正弦定理＝，

可得＝，

∴sin B＝，故∠B＝30°或150°.由a>b，

得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，

由勾股定理得c＝2.

已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数

例3　不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(1)a＝5，b＝4，A＝120°；

(2)a＝9，b＝10，A＝60°；

(3)c＝50，b＝72，C＝135°.

解　(1)sin B＝sin 120°＝×<，

所以三角形有一解．

(2)sin B＝sin 60°＝×＝，

而<<1，

所以当B为锐角时，

满足sin B＝的角有60°<B<90°，

故对应的钝角B有90°<B<120°，

也满足A＋B<180°，故三角形有两解．

(3)sin B＝＝sin C>sin C＝，

所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解．

总结　已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．

变式训练3　不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(1)a＝7，b＝14，A＝30°；

(2)a＝30，b＝25，A＝150°；

(3)a＝7，b＝9，A＝45°.

解　(1)A＝30°，a＝bsin A，故三角形有一解．

(2)A＝150°>90°，a＝30>b＝25，故三角形有一解．

(3)A＝45°，bsin 45°<a<b，故三角形有两解．

1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．

2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.

课时作业

一、选择题

1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是(　　)

A．asin A＝bsin B               B．bsin C＝csin A    

C．absin C＝bcsin B             D．asin C＝csin A

答案　D

解析　由余弦定理知D正确．

2．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则这个三角形解的情况是(　　)

A．有两个解    B．有一个解    C．无解    D．不能确定

答案　B

解析　因为a>b，A为钝角，所有只有一个解．

3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)

A．4    B．4    C．4    D.

答案　C

解析　方法一　根据三角形内角和定理，A＝180°－(B＋C)＝45°.根据正弦定理，

b＝＝＝4.

方法二　如图，过点C作CD⊥AB，由条件可知A＝45°，而由CD＝asin 60°＝bsin 45°，得b＝4.

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)

A．120°    B．105°    C．90°    D．75°

答案　A

解析　∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，

即sin C＝－cos C.

∴tan C＝－.又C∈(0，π)，∴C＝120°.

5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)

A．b＝10，A＝45°，C＝70°             B．a＝30，b＝25，A＝150°

C．a＝7，b＝8，A＝98°                D．a＝14，b＝16，A＝45°

答案　D

解析　对于A，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B，∵a>b，即A>B，且A＝150°，∴只有一解；对于C，a<b，即A<B，且A＝98°，∴无解．

二、填空题

6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠B＝60°，则C＝________.

答案　75°

解析　由正弦定理＝，∴sin A＝.

∵BC＝2<AC＝，∴A为锐角，∴A＝45°.

∴C＝75°.

7．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.

答案　30°

解析　b＝2a⇒sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，

∴sin(A＋60°)＝2sin A，

即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，

化简得sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.

8．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是______________．

答案　2<x<2

解析　因三角形有两解，所以asin B<b<a，

即x<2<x，∴2<x<2.

三、解答题

9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？

解　当a<bsin 30°，即b>2a，b>4时，无解；

当a≥b或a＝bsin A，

即b≤2或b＝4时，有一解；

当bsin A<a<b，即2<b<4时，有两解．

10．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，求的取值范围．

解　在锐角三角形ABC中，A、B、C<90°，

即∴30°<B<45°.

由正弦定理知：

＝＝＝2cos B∈(，)，

故所求的范围是(，)．