人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念导学案

§1.7定积分的简单应用

学习目标

1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；

2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？

复习2：计算抛物线与直线所围成的图形面积.

二、新课导学

学习探究

探究任务一：定积分在几何中的应用

问题： 如何求曲边图形的面积?

新知：

1.当在上有正有负时，则

2.平面图形是由两条曲线，，及直线所围成且.其面积都可以用公式求之.

3.当介于两条曲线，，和两条直线之间的平面图形的面积公式为：

试试：求正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的面积.

反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.

典型例题

例1 计算由曲线，所围图形的面积S.

变式：计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积S.

小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.

例2 一辆汽车的速度—时间函数关系为：

求汽车在这60秒行驶的路程.

变式：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 m处，求克服弹力所作的功.

动手试试

练1. 计算由，，所围图形的面积.

练2. 一物体沿直线以（的单位：，的单位：)的速度运动，求该物体在间行进的路程.

三、总结提升

学习小结

1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等.

2. 在解决问题的过程中，能过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解.

知识拓展

胡克定律：弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若与是上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线所围成的平面区域的面积为（    ）

A．      B．

C．     D．

2. 已知自由下落物体的速度为，则物体从到所走过的路程为（    ）

A．   B．    C．   D．

3. 曲线与坐标轴所围图形的面积是（    ）

A．2    B．3    C．    D．4

4.一物体在力（单位：）的作用下，沿着与力相同的方向从处运动到处（单位：）则力所作的功为            

5. 弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算. 如果10N的力能使弹簧压缩1 ，那么把弹簧从平衡位置压缩10 （在弹性限度内）做功为                

课后作业

1. 求下列曲线所围成图形的面积：

（1）;

（2）.