数学人教版新课标A1.1变化率与导数导学案

§1.1.2 导数的概念

学习目标

1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.

复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：. 求在这段时间里，运动员的平均速度.

二、新课导学

 学习探究

探究任务一：瞬时速度

问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是               

新知：

1．     瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

探究任务二：导数

问题2： 瞬时速度是平均速度当趋近于0时的                  

得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即

注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0

(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率

(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.

小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.

 典型例题

例1  将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.

例2  已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，

(1)当t=2，Δt=0.01时，求.

(2)当t=2，Δt=0.001时，求.

(3)求质点M在t=2时的瞬时速度

小结：

利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量；

第二步：求平均变化率；

第三步：取极限得导数.

 动手试试

练1. 在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在时的瞬时速度

三、总结提升

学习小结

这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=

 知识拓展

导数存在连续有极限

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（    ）

Ａ．从时间到时，物体的平均速度；

Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；  

Ｃ．当时间为时物体的速度；          

Ｄ．从时间到时物体的平均速度

2. 在 =1处的导数为（    ）

A．2   B．2    C．    D．1

3. 在中，不可能（    ）

A．大于0                B．小于0 

C．等于0                D．大于0或小于0

4.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为           

5. 若，则等于