人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.学案

内蒙古自治区新人教A版数学高三单元测试27

【两个计数原理】

本卷共100分，考试时间90分钟

一、选择题　(每小题4分，共40分)

1. 从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有

A.30种           B.36种           C. 42种              D. 60种

2. 五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一社区，则不同的分派方法有                                          （    ）

 A．240种 B．216种 C．120种 D．72种

3. 从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A．140种         B． 120种         C．35种         D．34种

4. 将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（　　）

A．80    B．120    C．140     D． 50

5. 将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，可以有一个或者多个盒子空着的放法种数为

 A．96 B．36 C．64 D．81

6. 《新课程标准》规定，那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生，除了修完必修内容和选修系列一的全部内容外，基本要求是还要在系列三的6个专题中选修2个专题，高中阶段共获得16个学分。则一位同学的不同选课方案有（   ）种

A．30　　　 B．15　　　　C．20　　   D．25

7. A，B，C，D，E5人争夺一次比赛的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若A获奖，B不是第一名，则不同的发奖方式共有（   ）

  A.72种  B.30种   C.24种   D.14种

8. 已知数列{}(n=)满足,且当时,. 若, ，则符合条件的数列{}的个数是      （    ）

A.140                 B.160                 C. 840                 D. 5040

9. 在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试．学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（   ）种．

A．20　　　　 B．22　　　　 C．24　　　　 D．36

10. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片各放入一信封，则不同的方法共有

A．72种       B．18种        C．36种          D．54种

二、填空题　(共4小题，每小题4分)

11. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为          ．

12. 从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成    个无重复数字的3位偶数；

13. 在红、黄、蓝、白四种颜色中任选几种给 “田”字形的4个小方格涂色，要求每格涂一种颜色，相邻（有公共边）两格必须涂不同的颜色。则满足条件所有涂色方案中，其中恰好四格颜色均不同的概率是     （用数字作答）；

14. 由数字1,2,3,4,5,6组成可重复数字的三位数中，各位数字中不同的偶数恰有两个（如：124,224,464,……）的三位数有        个（用数字作答）．

三、解答题　(共44分，写出必要的步骤)

15. （本小题满分10分） 甲队有4名男生和2名女生，乙队有3名男生和2名女生．

（Ⅰ）如果甲队选出的4人中既有男生又有女生，则有多少种选法？

（Ⅱ）如果两队各选出4人参加辩论比赛，且两队各选出的4人中女生人数相同，则有多少种选法？

16. 给出五个数字1，2，3，4，5；

（1）用这五个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）用这些数字作为点的坐标，能得到多少个不同的点(数字可以重复用) ?

17. （本小题满分12分） 从中取出不同的三个数作系数。

⑴可以组成多少个不同的一元二次方程；

⑵在所组成的一元二次方程中，有实根的方程有多少个？

18. （本小题满分12分）

用0，1，2，3，4，5这六个数字：

   （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

   （2）三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则这个数为凹数，如524、746等都是凹数。那么这六个数字能组成多少个无重复数字凹数？

答案

一、选择题

1. B2. B3. D4. A5. D6. B

7. B

本题主要考查组合的应用及分类加法原理，本题可分两种情况解答，即（1）B获奖，B获奖可能有种，A获奖有种，余下一个奖有种获奖方式，共有种；（2）B不获奖，A获奖方式有种，余下两个奖的发奖方式有，共有种，综上知不同的发奖方式共有12+18=30.解答排列组合问题主要从三个方面考虑：（1）问题的解决是分类还是分步？（2）所在完成的是组合问题还是排列问题？（3）是利用直接法还是间接法？

8. A9. C10. A

二、填空题

11. 72112. 5213. 14. 72

略

三、解答题

15. 解：（Ⅰ）甲队选出的4人中既有男生又有女生，则选法为

种                         

（或种）          

（Ⅱ）两队各选出的4人中女生人数相同，则选法为

种          

16. （1）用1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数可分为以下两步：

第一步从2，4中选一个作为个位，有2种不同的选法；第二步从余下的四个数中选3个分别作为十位、百位和千位共有种不同的选法。由分步计数原理得共可组成24×2=48个不同的四位偶数。（也可直接用分步计数原理得2×4×3×2=48）.

（2）由分步计数原理得：第一步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的横坐标，有5种不同的选法；第二步从1，2，3，4，5中任选一个作为点的纵坐标，也有5种不同的选法；

所以共可组成5×5=25个不同的点。

17. 解：⑴首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有种，然后从余下的4个数中任选两个作b、c，有。              

∴由分步计数原理 ，共组成一元二次方程

⑵方程要有实根，必须满足

当c=0时，a，b可在1，3，5，7中任取两个排列，有；

当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7，

当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有种，当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有种，此时共有。

由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：

18. 解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：

第一类：0在个位时有个；

第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种）,十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．

由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．……．6分

（2）符合要求的凹数可分为四类：

第一类：十位数为0的有A个；第二类：十位数为1的有A个；

第三类：十位数为2的有A个；第四类：有十位数为3的有A个

由分类加法计数原理知，凹数共有：

A+ A+ A +A=40…即这六个数字能组成40个无重复数字凹数……12分