数学必修52.1 数列的概念与简单表示法教学设计

                 2.1  数列的概念与简单表示法

 教学目标：

1． 正确理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；

2． 了解数列的通项公式，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；

3． 了解数列的表示方法与分类。

重点：正确理解并灵活应用数列的概念及通项公式

 难点：正确理解并灵活应用数列的概念及通项公式。

 过程与方法：通过对现实生活情景的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和从一般到特殊从特殊到一般的逻辑推理的数学方法。

 教学过程

一 新课引入

   （1）图2-1-1中的三角形分别代表哪些数？ 这些数有什么规律吗？与它表示的三角形序号有关系吗？

（2）图2-1-2的正方形分别代表什么数？这些数有什么规律吗？

（3）上述三角形数，正方形数的共同点是什么？            

二．新授内容：

1．数列的概念

按照一定顺序排列着的一列数称为数列 。

数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项，依此下去。通常计为：

看下面的例子。

（1）                   1，3，6，10，，，，，，

（2）                   1，4，9，16，，，，，

（3）                   1，1.4,  1.41,  1.414, ,,,,,,

（4）                   -1, 1, -1, 1, -1, 1, …….

（5）                   1,1,1,1,1,…….

  以上这些都是我们平时经常遇到的一些数列。你能举一些吗？

   2．数列与数集的区别

     （1）数列有序，数集无序。

     （2）数列中有重复的数，数集中没有。

   3．数列的项与函数值

      数列的项是指出现在这个数列中的某一确定的数，它是一个函数值，即f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数f(n)对应的自变量的值，即n.

   4.数列的分类

       （1）根据数列的项数

           有穷数列------项数有限的数列

           无穷数列------项数无限的数列

       （2）根据数列的每一项随序号变化的情况

           递增数列---一个数列，从第二项起每一项都不小于它的前一项。

           递减数列

           摆动数列

           常数数列

  5．数列的通项公式

如果数列的第N项与序号N之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

（1）       如果一个数列已有了通项公式，依次代入1，2，3，。。，，，

既得数列的各项

（2）       并不是所有的数列都有通项公式，如（3）。

（3）       一些数列的通项可以有不同的形式如（4）

数列（4）的通项公式可写为：，也 可写为：

。

 6．数列与函数的关系

      （1）用函数观点看数列

       数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数f(n),当它的自变量n从1开始依次取正整数时，对应的一列函数值f(1),f(2),

f(3),……

      （2） 数列的图象表示

       图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的。

三．例题

   例1．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：

     （1）

     （2）  2，0，2，0

   解：（1）

      （2）

例2．图2-1-5中的三角形称为Sierpinski三角形。着色三角形的个数依次构成一个数列的前四项。请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。

解：着色三角形的个数依次是1，3，9，27。则这个数列的通项公式为：

图象略

例3．设数列{} 满足

写出这个数列的前5项。

解：由题意可知，

注意：如果一个数列的首项，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍加1,即

像这样给出数列的方法叫做递推法，其中

     称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

四．练习

  P36.1,2,3,4,5

五．小结与作业

  1．数列是函数，这种函数有特殊性吗？

  2．你怎样理解数列是刻画自然规律的模型？

 P38. A 1-6, B 1-4

本节课外练习题

1．              写出数列：的通项公式。

2．              已知数列的前四项为1，0，1，0。你能写出几个通项公式？

3．              已知数列{}满足 ，且对任意,求

数列的通项公式。

    4．设数列 {}是首项为1的正项数列，且满足求它的通项公式。