高中数学人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法学案设计

第11课时等比数列的概念和通项公式

【学习导航】

知识网络 

学习要求

1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；

2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；

3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.

【自学评价】

1. 等比数列的性质：

（1）（）；

(2）对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；

（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；

4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2. (1) 若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2.

(2) 若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为q2.

(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.

(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则

【精典范例】

【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.

【解】 设所求四个数为

－aq，，aq，aq3

由①得a2＝16  ∴a＝4或a＝－4由②得2a2q2－a2q4＝－128

将a2＝16代入整理得

q4－2q2－8＝0解得q2＝4 

∴q＝2或q＝－2

因此所求的四个数为

－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.

【点评】 根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a、q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.

【例2】若a、b、c成等比数列，

试证：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.

【证明】 由a、b、c成等比数列，

则a·b·c≠0且b2＝ac

(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)＝ac(a＋c)2＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2

显然a2＋b2、b2＋c2都不等零，

且ab＋bc≠0∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列.

【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b2＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.

追踪训练一

1．在等比数列{an}中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是( B  )

A.±4    B.4      C.±     D. 

2．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于( B  )

A.512  B.－512 C.256   D.－256

3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于(  A  )

A.54      B.27     C.9      D.3

4．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( A )

A.5     B.10     C.15       D.20

5．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则的值为.

【选修延伸】

【例3】在中，，试求的通项

【解】设则

可得＝1

，

为等比数列，首项为=2,公比为3

，

【例4】在中，，试求的通项

【解】原式可变为：，

可构造为

为等比数列，首项，公比3

，

【例5】在中，求｛｝的通项

【解】法一：

原式变形为：，设，

即，

，

即，

为等比数列，首项＝，公比

，

　法二：

设，即

即，

为等比数列，

首项＝，公比，

，

追踪训练二

1．在等比数列｛an｝中，若a2·a8=36,a3＋a7＝15，则公比q值的可能个数为(  D  )

A.1   B.2    C.3    D.4

2．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于( B  )

A.8   B.10  C.12  D.2＋log35 

3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( C  ) 

A.三边边长之比为3∶4∶5 

B.三边边长之比为1∶∶3

C.较小锐角的正弦为   

D.较大锐角的正弦为

4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( C  ) 

A.1      B.2     C.3     D.4

5．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*

(1)求证{an－}是等比数列.

(2)求数列{an}的通项公式.

【解】

(1)【证明】 由an+1 =an+得

an+1－又an－≠0

∴

即，数列{an－}构成等比数列.

(2)由(1)知an－=(a1－)（）n－1,

且a1=

即an=(a1－n－1+

==