2022届新高考一轮复习 第六章 平面向量 第1讲 平面向量的基本概念与线性运算 教案

第六章  平面向量

第1讲  平面向量的基本概念与线性运算

复习要求

1．通过对力、速度、位移概念的理解，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．

2．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加，减运算及运算规则，理解其几何意义．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．

知识梳理

一、向量的有关概念与向量的表示

1．既有大小又有方向的量叫做向量；

2．向量的大小叫做向量的长度（或称模），向量，的模分别记做，；

3．长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于一个单位的向量叫做单位向量；

4．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

5．长度相等且方向相反的向量叫做相反向量；

6．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量，规定：0与任一向量平行．

二、向量的线性运算

三、向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

一平面向量的基本概念及理解

【例1】下列说法正确的是（    ）

A．若，则或 B．若为相反向量，则

C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则

【变式1．1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）

①任一向量与它的相反向量都不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量；

④若a≠b，则|a|≠|b|；

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式1．2】给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二平面向量的线性运算

【例2】如图所示，在中，，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【变式2．1】如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【变式2．2】在中，，，设，则（    ）

A． B． C． D．

【例3】在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【变式3．1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．

三向量共线定理

【例4】已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（    ）

A． B． C． D．

【变式4．1】已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形

【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且．

（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．

【变式5．1】如图所示，在中，分别是，的中点，，，．

（1）用，表示向量，，；

（2）求证：，，三点共线．

课后作业

一、选择题．

1．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ）

A． B． C． D．

2．已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（    ）

A．5 B．3 C． D．2

3．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题．

4．如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法：

①都是单位向量；

②，；

③与相等的向量有3个；

④与共线的向量有3个；

⑤与向量大小相等、方向相反的向量为．

其中正确的是_______．(填序号)

5．已知向量，，，，，则一定共线的三点是_________．

6．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为________．

7．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________．

三、解答题．

8．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．

（1）试用向量，表示；

（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求的值．

【例1】下列说法正确的是（    ）

A．若，则或 B．若为相反向量，则

C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则

【答案】B

【解析】若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；

若为相反向量，则它们的和为零向量，B对；

零向量的方向是任意的，C错；

两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错，

故选B．

【变式1．1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）

①任一向量与它的相反向量都不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量；

④若a≠b，则|a|≠|b|；

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；

由相等向量的定义知，②正确；

两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；

a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；

两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错，

所以正确的命题的个数为1，故选B．

【变式1．2】给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误，

综上，正确的命题是①③，故选B．

【例2】如图所示，在中，，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，

故选B．

【变式2．1】如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】，

，

故选A．

【变式2．2】在中，，，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在三角形中，，，

可得，

因为，所以，所以，

故选C．

【例3】在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在中，为边的中点，为的中点，

，，

，

，

同理，，

与共线，存在实数，使，

即，

即，解得，，

，

当且仅当，即时，“”成立，

的最小值是，故选C．

【变式3．1】在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．

【答案】

【解析】如图所示，

中，，

∴，

又点点在线段上移动，设，，

∴，

又，∴，

∴，

∴当时，取到最小值，最小值为，故答案为．

【例4】已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若、、三点共线，则向量，

即存在实数，使得，

，，，

可得，消去得，

即、、三点共线的充要条件为，故选B．

【变式4．1】已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形

【答案】A

【解析】因为，所以，

因为，是不共线的非零向量，所以且，

所以四边形是梯形，故选A．

【例5】已知O，A，B是不共线的三点，且．

（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）证明：

若m+n=1，则，，

故，即，

，即共线，

又有公共点，则A，P，B三点共线．

（2）证明：

若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，

又，，故．

【变式5．1】如图所示，在中，分别是，的中点，，，．

（1）用，表示向量，，；

（2）求证：，，三点共线．

【答案】（1），，；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵，，，分别是，的中点，

∴，

，

∴．

（2）由（1）知，，

∴，∴与共线，

又∵与有公共点，故，，三点共线．

一、选择题．

1．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，

，故选D．

2．已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（    ）

A．5 B．3 C． D．2

【答案】C

【解析】因为，是非零向量，且互相垂直，所以，

因为共线，所以当且仅当有唯一一个实数，使，即，

所以，

又因为，不共线，所以，故选C．

3．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意画出草图，如图：

点是线段上一点，设，

，

由平面向量基本定理可得，解得，故选C．

二、填空题．

4．如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法：

①都是单位向量；

②，；

③与相等的向量有3个；

④与共线的向量有3个；

⑤与向量大小相等、方向相反的向量为．

其中正确的是_______．(填序号)

【答案】①②④⑤

【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确；②正确；

③与相等的向量是，故③错误；

④与共线的向量是，故④正确；⑤正确，

故答案为①②④⑤．

5．已知向量，，，，，则一定共线的三点是_________．

【答案】，，

【解析】因为，，不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；

因为，

因为，所以，

由平面向量共线定理可知与平行，

又因为有公共点，所以，，三点共线，

因为，，所以不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；

因为，，所以不存在实数使得，所以与不共线，所以，，三点不共线；

综上所述：一定共线的三点是，，，

故答案为，，．

6．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为________．

【答案】

【解析】如图，结合题意绘出图象，

因为，为边的中点，

所以，

因为、、三点共线，所以，

则，

当且仅当、时取等号，

故的最小值为，

故答案为．

7．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若与共线，与共线，则与也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；④的充要条件是且；⑤已知为实数，若，则与共线．其中真命题的序号是________．

【答案】③

【解析】两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，①错误；

若，则与不一定共线，②错误；

因为＝，即||＝||且，

又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，③正确；

当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，④错误；

当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，⑤错误，

故答案为③．

三、解答题．

8．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．

（1）试用向量，表示；

（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，，三点共线，

可设

，

由，，三点共线，可设，

∴，解得，，

∴．

（2）∵，，三点共线，设，

由（1）知，，

∴，，∴．