2022届新高考一轮复习 第七章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和 教案

这是一份2022届新高考一轮复习 第七章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和 教案，共23页。教案主要包含了变式1．1，变式1．2，变式1．3，变式2．1，变式3．1，变式4．1，变式4．2，变式5．1等内容，欢迎下载使用。

第七章 数列
第2讲 等差数列及其前n项和
复习要求
1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式关系．
4．体会等差数列与一元一次函数的关系．

知识梳理
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
3．由三个数，，组成的等差数列可以看成简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项．
4．等差数列的常用性质
（1） 通项公式的推广：；
（2） 若为等差数列，且，则；
（3） 若为等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为；
（4） 若，是等差数列，则也是等差数列；
（5） 若是等差数列，公差为，则是公差为的等差数列；
（6） 数列构成等差数列；
（7） 若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，公差为．
5．等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和或．
6．等差数列前项和公式与函数的关系

数列是等差数列⇔ ．
7．等差数列前项和的最值
在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值．
一等差数列中基本量求解
【例1】若是等差数列，公差，，，则（ ）
A．3或5 B．5或7 C．或7 D．或3
【变式1．1】记为等差数列的前项和．若，，
则（ ）
A．11 B．9 C．6 D．4
【变式1．2】已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1．3】若数列为等差数列，，，则（ ）
A． B．0 C． D．
二等差数列基本量的判断与证明
【例2】已知数列的通项公式．
（1）当和满足什么条件时，数列是等差数列？
（2）求证：对任意实数和，数列是等差数列．






【变式2．1】已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．





【例3】（多选）已知数列满足，，且，则下列四个选项中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C． D．的最大值为2
【变式3．1】正数数列和满足：对任意的正整数n，都有成等差数列，成等比数列．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求．

三等差数列前n项和性质
【例4】等差数列中，，那么关于x的方程（ ）
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【变式4．1】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，
若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【变式4．2】已知数列中，，，则（ ）
A．3009 B．3031 C．3010 D．3030
【例5】记等差数列与的前项和分别为和，若，
则（ ）
A． B． C． D．
【变式5．1】等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
【例6】在等差数列中，，，求_______．
【变式6．1】在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【例7】在等差数列中，，其前项和为，若，
则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7．1】在等差数列中，，其前项和为，若，则等于 ．
四等差数列中单调性和最值
【例8】若等差数列，首项，则使前n项和成立的最大的自然数n是（ ）
A．8 B．9 C．16 D．17
【变式8．1】（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与是的最大值
C． D．
【变式8．2】（多选）设等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．
C．的前项和中最大
D．，，…，中最大的项为
五与等差数列前n项和正负有关的问题
【例9】在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式9．1】若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4040 B．4041 C．4042 D．4043
课后练习
一、选择题．
1．记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知是等差数列，且满足，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．若数列满足，，则当时，的值是（ ）
A．679 B．680 C．681 D．690
4．已知为等差数列的前项和，且满足，
则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
6．已知数列的前n项和为，且．若
，则（ ）
A．140 B．280 C．70 D．420
7．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
8．已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法错误的为（ ）
A． B．当且仅当n= 7时，取得最大值
C． D．满足的n的最大值为12
9．已知数列是等差数列，是其前n项和，若存在最大值，则在，中最大的数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题．
11．在等差数列中，，令为的前项和，若，则使得成立的最大整数为__________．
12．等差数列中，且，为其前项和，则使的的最小值为________．
三、解答题．
13．已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．



14．已知各项均为正数的数列满足，
且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．



一等差数列中基本量求解
【例1】若是等差数列，公差，，，则（ ）
A．3或5 B．5或7 C．或7 D．或3
【答案】D
【解析】由，得，
消去n，得，解得或3，
故选D．
【变式1．1】记为等差数列的前项和．若，，
则（ ）
A．11 B．9 C．6 D．4
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以是常数列，故，故选D．
【变式1．2】已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题设，，解得，故选A．
【变式1．3】若数列为等差数列，，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】设数列的公差为，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
故选B．
二等差数列基本量的判断与证明
【例2】已知数列的通项公式．
（1）当和满足什么条件时，数列是等差数列？
（2）求证：对任意实数和，数列是等差数列．
【答案】（1），时，数列是等差数列；（2）证明见解析．
【解析】（1）若是等差数列，
则是一个与无关的常数，
所以，即，
所以，时，数列是等差数列．
（2）因为，所以，
所以是一个与无关的常数，
所以是等差数列．
【变式2．1】已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，所以，即数列为等差数列．
（2）因为，所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
【例3】（多选）已知数列满足，，且，则下列四个选项中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C． D．的最大值为2
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，
所以数列是等差数列，
又，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，，
因为不是常数，所以数列不是等比数列，
，，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以正确的有ACD，故选ACD．
【变式3．1】正数数列和满足：对任意的正整数n，都有成等差数列，成等比数列．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）；．
【解析】（1）∵成等比数列，且，
∴，∴．
∵成等差数列，∴，
．
∴，∴是等差数列．
（2）∵，∴．
∴，∴，∴，∴，
，
即，显然也满足上式；
故，．
三等差数列前n项和性质
【例4】等差数列中，，那么关于x的方程（ ）
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【答案】C
【解析】因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根，
故选C．
【变式4．1】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，
若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，
又d≠0，∴m＝8，
故选B．
【变式4．2】已知数列中，，，则（ ）
A．3009 B．3031 C．3010 D．3030
【答案】B
【解析】在数列中，，，可得，，，…，即奇数项为1，偶数项为2，
则，
故选B．
【例5】记等差数列与的前项和分别为和，若，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
，可得，
所以，故选C．
【变式5．1】等差数列、的前项和分别为和，若，则________．
【答案】
【解析】因为等差数列、的前项和分别为和，
则，
所以，，
故答案为．
【例6】在等差数列中，，，求_______．
【答案】
【解析】由等差数列片段和的性质有，
∴，
故答案为．
【变式6．1】在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】，所以可看成关于的二次函数，
由二次函数图象的对称性及，，
得，解得，故选B．
【例7】在等差数列中，，其前项和为，若，
则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得，
又，，，
故选B．
【变式7．1】在等差数列中，，其前项和为，若，则等于 ．
【答案】
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
∵，∴，解得，
又，，，故答案为．
四等差数列中单调性和最值
【例8】若等差数列，首项，则使前n项和成立的最大的自然数n是（ ）
A．8 B．9 C．16 D．17
【答案】C
【解析】，数列是单调递减数列，
，所以n最大值为16，
故选C．
【变式8．1】（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与是的最大值
C． D．
【答案】ABD
【解析】设等差数列的公差为，
，，
，，．
，，，与是的最大值．
因此A，B，D正确；
对于C．，可得，因此不正确，
故选ABD．
【变式8．2】（多选）设等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．
C．的前项和中最大
D．，，…，中最大的项为
【答案】ABD
【解析】由题意，，，
所以，所以且，故A、B正确；
易得等差数列为递减数列，当时，；当时，；
所以的前项和中最大，故C错误；
当时，，且递减，递增，所以最大，
当时，，，
所以，，…，中最大的项为，故D正确，
故选ABD．
五与等差数列前n项和正负有关的问题
【例9】在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解析】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15，故选A．
【变式9．1】若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4040 B．4041 C．4042 D．4043
【答案】A
【解析】∵，∴和异号，
又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，
，∴，
，
∴满足的最大自然数为4040，故选A．


课后练习
一、选择题．
1．记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
故选A．
2．已知是等差数列，且满足，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】由等差数列的性质知，于是，
所以，
那么公差，则，
故选B．
3．若数列满足，，则当时，的值是（ ）
A．679 B．680 C．681 D．690
【答案】C
【解析】∵，，
∴是以19为首项，为公差的等差数列，
则，则，解得，
故选C．
4．已知为等差数列的前项和，且满足，
则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，故选D．
5．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【解析】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴，故选B．
6．已知数列的前n项和为，且．若
，则（ ）
A．140 B．280 C．70 D．420
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴数列为等差数列，
由等差数列的性质得，
∵，∴，
∴，故选B．
7．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
【答案】B
【解析】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得．
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得，
故选B．
8．已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法错误的为（ ）
A． B．当且仅当n= 7时，取得最大值
C． D．满足的n的最大值为12
【答案】B
【解析】，，，
，，为递减数列，
，
由，，解得，
数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，
，当或7时，取得最大值，故A正确，B错误；
，，
，故C正确；
，解得，
满足的的最大值为12，故D正确，
故选B．
9．已知数列是等差数列，是其前n项和，若存在最大值，则在，中最大的数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】由题可知数列是等差数列，且前n项和存在最大值，
公差，在定义域上是单调递减函数，
最大，
故选A．
10．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】BC
【解析】由于，，
，，
，
显然，，不成等差数列，A选项错误；
且，
所以，，是等差数列．
由，得，
所以，，成等差数列，于是B、C正确；
不妨取，则，于是D选项中的项没意义，D选项错误，
故选BC．

二、填空题．
11．在等差数列中，，令为的前项和，若，则使得成立的最大整数为__________．
【答案】5
【解析】，，则，
因为，所以，
又，所以，
所以，所以使得成立的最大整数n为5，故答案为5．
12．等差数列中，且，为其前项和，则使的的最小值为________．
【答案】20
【解析】因为，，，所以，
因此，，
，
因此n的最小值为20，故答案为20．

三、解答题．
13．已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式．
【答案】证明见解析；．
【解析】证明：因为，
所以，
因为，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以，即 ．
14．已知各项均为正数的数列满足，
且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由结合数列各项均为正数得，
则，所以数列是等差数列．
（2），则公差，
∴，
∴．