必修52.2 等差数列导学案及答案

2.3等差数列的前n项和

一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的问题．

二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些有关问题．

三、教学过程

自主探究（一）：特殊的等差数列前n项和公式

预习课本42页回答以下问题 

（1）高斯在解决一个什么问题，他的算法妙在哪里？

（2）这种算法能否解决一般的等差数列问题？

定义：数列的前n项和

一般地，我们称                      为数列的前n项和，用表示，即

                    =                

合作探究（二）：一般的等差数列前n项和公式

1. 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项和？

2. 如何求首项为，公差为的等差数列的前n项和？

总结：用（公式1），必须已知三个条件：              ；

 用（公式2），必须已知三个条件：                 。 ．

    公式2又可化成式子：  ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．

例题讲解

例1、(1)已知等差数列{}中, =4, =172,求。

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

例2、教材P43页的例1

例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和．   

例4、等差数列的前项和为，若，求.

练习1：⑴在等差数列中，已知，求.　

⑵在等差数列中，已知，求.

例5．已知等差数列{}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.

例6. 已知数列{}的前n项和为，求此数列的通项公式。

总结：已知数列{}的前n项和的解析式，求的通项公式：

练习2：已知数列{}的前n项和为，求此数列的通项公式.

例7．已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗？.

独立思考：（1）等差数列中，成等差数列吗？

（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？

(3)等差数列前n项和还有哪些性质？

例如，当项数为2n,=           ；=            ；

当项数为2n-1,，       ；=           ；=            ；

例8、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

探究（三）：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

    由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.

例9、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值.

例10、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。

总结：等差数列前项和的最值问题有两种方法：

（1）            （1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值；

当<0，d>0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值.

      （2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.

练习3：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.