高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列第1课时习题

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双基达标 限时20分钟
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )．
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案 A
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )．
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
解析 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案 B
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 ∵A，B，C为等差数列，
∴B＝eq \f(A＋C,2)，即A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，
即B＝60°.
答案 B
4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项an＝________.
解析 由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则eq \f(a2－a1,b4－b3)＝________.
解析 设两个数列的公差分别为d1，d2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－x＝4d1，,y－x＝5d2，))
∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(5,4)，∴eq \f(a2－a1,b4－b3)＝eq \f(d1,d2)＝eq \f(5,4).
答案 eq \f(5,4)
6．已知等差数列{an}中，a10＝29，a21＝62，试判断91是否为此数列中的项．
解 设等差数列{an}的公差为d，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝29，,a21＝a1＋20d＝62，))
解得a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
令an＝3n－1＝91，得n＝eq \f(92,3)∉N*.
∴91不是此数列中的项．
综合提高 限时25分钟
7．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则eq \f(a,b)等于( )．
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))∴a＝eq \f(x,2)，b＝eq \f(3,2)x.∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,3).
答案 C
8．设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn＝bn2－an·bn，则{cn}是( )．
A．常数列 B．摆动数列
C．公差不为0的等差数列 D．递减数列
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3])，
∴an＝n，bn＝n＋4，
∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案 C
9．已知数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
解析 由已知an＋12－an2＝4，
∴{an2}是等差数列，且首项a12＝1，公差d＝4，
∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，∴an＝eq \r(4n－3).
答案 eq \r(4n－3)
10．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
解析 (an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
答案 3d
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．
解 数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)，
∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)(常数)．
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)为首项，公差为eq \f(1,2)的等差数列．
12．(创新拓展)对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an.对正整数k，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an)(k≥2)．
(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；
(2)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋n，试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，为什么？
解 (1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11.
(2)Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，
∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列．
Δ2an＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，
∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列．