高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列复习ppt课件

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1.等比数列的定义及等比中项(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示.(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为am·an=ap·aq,如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=± (ab>0).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式等比数列的通项公式为an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0);其前n项和公式为:
3.与等比数列有关的结论(1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列.(2)若{an}是等比数列,则{λan}､{|an|}皆为等比数列,公比分别为q和|q|(λ为非零常数).(3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.(4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.
(5)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 仍为等比数列,其中m是不为零的常数.(6)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,这时
4.等比数列的判定方法(1)定义法: (q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)中项公式法:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn= qn- =kqn-k(k= 是常数,且q≠0,q≠1)⇔{an}是等比数列.
1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列{an}( )A.是等比数列B.当a≠1时是等比数列C.从第二项起成等比数列D.从第二项起成等比数列或成等差数列
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从第二项起成等差数列.答案:D
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=()A.64 D.243解析:∵{an}是等比数列,∴ 又∵a1+a1q=3,∴a1=1,a7=a1q6=1×26=64.答案:A
4.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=()A.3B.4C.5D.6
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8解析:依题意得 =q3=8,q=2,选A.答案:A
类型一等比数列的判断与证明解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是利用等比数列的定义,即证明 =q(q≠0,n∈N*),二是利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+2≠0(n∈N*).在解题中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.
【典例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),求证:(1)数列{ }是等比数列;(2)Sn+1=4an.
[反思感悟](1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确.(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互为相反数.
类型二等比数列的基本量运算解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解.
【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和为80,且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的通项公式.
将qn=81代入①得,a1=q-1.③又∵a1>0,∴q>1.∴数列{an}是递增数列.从而,a1qn-1=54,∴a1qn=54q,∴81a1=54q.④③④联立,解得q=3,a1=2.∴an=a1qn-1=2×3n-1.
[反思感悟]因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定an.求解本题时,有两个易错点:一是不判断q≠1而直接利用公式Sn= ;二是不借助a1>0导出q>1,进而判断数列{an}的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大项.
类型三等比数列性质的应用解题准备:1.等比数列的单调性(1)若a1>0,q>1或a1<0,00,01,则数列{an}是递减数列.(3)若q=1,则数列{an}是常数列.(4)若q<0,则数列{an}是摆动数列且各项的正负号间隔.
2.等比数列的简单性质已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(1)数列{c•an}(c≠0),{|an|},{an•bn}({bn}也是等比数列),{a2n},{ }等也是等比数列.(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列.(3)若m+n=p+q,则am•an=ap•aq,特别地,若m+n=2p,则am•an=a2p.
(4)a1an=a2an-1=…=aman-m+1.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).(6)当n是偶数时,S偶=S奇·q.当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.
【典例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.[解]解法一:利用等比数列的性质.由已知a1+a2+…+an=2,an+1+an+2+…+a2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n=12.注意到(a1+a2+…+an),(an+1+an+2+…+a2n),(a2n+1+a2n+2+…+a3n),(a3n+1+a3n+2+…+a4n),…也成等比数列,其公比为qn,于是,问题转化为已知:
A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值.由A1=2,A1qn+A1q2n=12,得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3.故A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
解法二:利用求和公式.如果公比q=1,则由于a1+a2+…+an=2,可知an+1+…+a3n=4,与已知不符,∴q≠1.由求和公式,得 ①又 ②式②除以式①得qn(1+qn)=6,∴q2n+qn=6.解得qn=2,或qn=-3.
[反思感悟]由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确定q≠1,否则不可断定用q≠1时的公式.
类型四等比数列前n项和及其性质解题准备:1.等比数列的前n项和公式:
2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
【典例4】设正项等比数列{an}的首项a1= 前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0.(1)求{an}的通项;(2)求{nSn}的前n项和Tn.
[分析](1)利用S2n-Sn､S3n-S2n…的关系化简210S30-(210+1)S20+S10=0.(2)利用错位相减法求和.[解](1)由210S30-(210+1)S20+S10=0得210(S30-S20)=S20-S10,即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20,可得210•q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20.
因为an>0,所以210q10=1,解得q= ,因而an=a1qn-1= (n∈N*).
错源一对公比q的范围、取值考虑不周全【典例1】已知三角形的三边构成公比为q的等比数列,则q的取值范围( )
[错解]设三角形的三边分别为a,aq,aq2,且a>0,q>0.由三角形的两边之和大于第三边,得a+aq>aq2,即1+q>q2,解得00,当q>1时数列是递增的,aq2是最大边;而当0错源二题意理解不透、忽视隐含条件【典例2】一个数列{an},当n为奇数时,an=5n+1,当n为偶数时,an= ,则这个数列的前2m项和为________.
[错解]当n为奇数时,由an+1-an=[5(n+1)+1]-(5n+1)=5,知{an}是以a1=6,d=5的等差数列.
[剖析]将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路是正确的,但分析是由a1,a3,a5,…构成等差数列,由a2,a4,a6,…构成等比数列,并不是相邻的两项.
[正解]当n为奇数时,由an+2-an=[5(n+2)+1]-(5n+1)=10,知{an}是以a1=6,d=10的等差数列.当n为偶数时,由 =2,知{an}是以a′1=2,q=2的等比数列.所以S2m=6m+ =5m2+m+2m+1-2.[答案]5m2+m+2m+1-2
技法一巧用公式【典例1】设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________.[解析]由题设知,Sn-Sn+1=Sn+2-Sn,即-an+1=an+1+an+2,故2an+1+an+2=0,即[答案]-2
技法二巧用等比数列中部分项的性质“若数列{an}是公比为q的等比数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成首项为ak,公比为qm的等比数列.”
【典例2】若等比数列{an}中,公比q=2,且a1+a2+…+a99=30,则a3+a6+a9+…+a99=________.