必修52.4 等比数列习题

这是一份必修52.4 等比数列习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二十九讲　等比数列班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.或       D．－或－解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6①又a4＋a14＝5②由①、②组成方程组解得或∴＝＝或.答案：C2．在等比数列{an}中a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　)A．2n＋1－2    B．3nC．2n     D．3n－1解析：要{an}是等比数列，{an＋1}也是等比数列，则只有{an}为常数列，故Sn＝na1＝2n.答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3等于(　　)A．12  B．23C．34  D．13解析：解法一：∵S6S3＝12，∴{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，∴＝＝.解法二：因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝，故选C.答案：C4．已知等比数列{an}中，an>0，a10a11＝e，则lna1＋lna2＋…＋lna20的值为(　　)A．12    B．10C．8    D．e解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝lne10＝10，故选B.答案：B5．若数列{an}满足a1＝5，an＋1＝＋(n∈N*)，则其前10项和是(　　)A．200  B．150C．100  D．50解析：由已知得(an＋1－an)2＝0，∴an＋1＝an＝5，∴S10＝50.故选D.答案：D6.在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于(　　)A．(2n－1)2  B.(2n－1)2C．4n－1  D.(4n－1)解析：若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则an＝2n－1，a1＝1，q＝2，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．数列{an}中，设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝________.解析：S9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案：3778．数列{an}的前n项之和为Sn，Sn＝1－an，则an＝________.解析：n＝1时，a1＝S1＝1－a1，得a1＝，n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1.两式相减得an＝an－1－an，即an＝an－1，＝，所以{an}是等比数列，首项为a1＝，公比为，所以an＝·n－1.答案：·n－19．{an}是等比数列，前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝________.解析：设数列{an}的公比为q，∵S2＝7，S6＝91.∴∴∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3.∴S4＝＝a1(1＋q)(1＋q2)＝(a1＋a1q)(1＋q2)＝28.答案：2810．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，关于数列{an}有下列四个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N＋)　②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则{an}是等差数列③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列④若{an}是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(m∈N＋)也成等比数列．其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)解析：①若{an}既是等差数列又是等比数列，{an}为非零常数列，故an＝an＋1(n∈N＋)；②若{an}是等差数列，Sn＝n2＋n为an2＋bn(a，b∈R)的形式；③若Sn＝1－(－1)n，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－(－1)n－1＋(－1)n－1＝(－1)n－1－(－1)n，而a1＝2，适合上述通项公式，所以an＝(－1)n－1－(－1)n是等比数列；④若{an}是等比数列，当公比q＝－1且m为偶数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m不成等比数列．答案：①②③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，对任意的自然数n≥2，an是3Sn－4与2－Sn－1的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn.解：(1)由已知，当n≥2时，2an＝(3Sn－4)＋(2－Sn－1)，①又an＝Sn－Sn－1，②由①②得an＝3Sn－4(n≥2)③an＋1＝3Sn＋1－4④③④两式相减得an＋1－an＝3an＋1∴＝－.∴a2，a3，…，an，…成等比数列，其中a2＝3S2－4＝3(1＋a2)－4，即a2＝，q＝－，∴当n≥2时，an＝a2qn－2＝n－2＝－n－1.即(2)解法一：当n≥2时Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a2＋…＋an)＝1＋＝1＋＝－n－1，当n＝1时S1＝1＝－0也符合上述公式．∴Sn＝－n－1.解法二：由(1)知n≥2时，an＝3Sn－4，即Sn＝(an＋4)，∴n≥2时，Sn＝(an＋4)＝－n－1＋.又n＝1时，S1＝a1＝1亦适合上式．∴Sn＝－n－1.12．设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn.解：(1)证明：由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3，∴＝(n≥1)．∴{an}是等比数列．(2)由(3－m)S1＋2ma1＝m＋3，解出a1＝1，∴b1＝1.又∵{an}的公比为，∴q＝f(m)＝，n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·，∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，推出－＝.∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝1＋＝，又＝1符合上式，∴bn＝.13．已知{an}是首项为a1，公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.(1)求q的值；(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，请求出a1的值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知5S2＝4S4，S2＝，S4＝，∴5(1－q2)＝4(1－q4)，得q2＋1＝.又q>0，∴q＝.(2)解法一：∵Sn＝＝2a1－a1n－1，于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，即a1＝－，此时，bn＝n＋1，∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列，所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．解法二：由于bn＝＋2a1－a1n－1，所以b1＝＋a1，b2＝＋a1，b3＝＋a1，若数列{bn}为等比数列，则b＝b1·b3，即2＝，整理得4a＋a1＝0，解得a1＝－或a1＝0(舍去)，此时bn＝n＋1.故存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．
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