专题01 ： 27.1 图形的相似 - 期末复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册

专题01 ：2022年人教新版九年级（下册）27.1 图形的相似 - 期末复习专题训练

一、选择题（共10小题）

1．若，则等于（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．下列两个图形一定相似的是（　　）

A．两个菱形 B．两个矩形 

C．两个正方形 D．两个等腰梯形

3．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段d的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm

4．已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝（　　）

A．1 B． C． D．

5．若成立，那么下列式子一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．ad＝bc

6．下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（　　）

A．1 B．74 C．5.4 D．1.5

7．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）

A．两个直角三角形 

B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 

C．有一个角为40°的两个等腰三角形 

D．有一个角为100°的两个等腰三角形

8．若＝，则的值是（　　）

A． B． C． D．

9．下列说法正确的是（　　）

A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似 

C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似

10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8

二、填空题（共5小题）

11．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长是　 　．

12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是　     　．

13．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　             　．

14．已知＝，则＝　               　．

15．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是　    　．

三、解答题（共5小题）

16．在一张比例尺为1：20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．

17．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　 　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　命题）

③两个大小不同的正方形相似．（　 　命题）

（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

18．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）

19．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．

（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；

（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

20．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．

专题01 ：2022年人教新版九年级（下册）27.1 图形的相似 - 期末复习专题训练

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．若，则等于（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【解答】解：设＝k，

则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

即

＝

＝

＝10，

故选：C．

2．下列两个图形一定相似的是（　　）

A．两个菱形 B．两个矩形 

C．两个正方形 D．两个等腰梯形

【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；

B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；

C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；

D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；

故选：C．

3．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段d的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm

【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，

根据比例线段的定义得：ad＝cb，

代入a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，

解得：d＝5．

故线段d的长为5cm．

故选：C．

4．已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，

∴c2＝ab＝1×2，

解得c＝±，

又∵线段是正数，

∴c＝．

故选：B．

5．若成立，那么下列式子一定成立的是（　　）

A． B． 

C． D．ad＝bc

【解答】解：A、由不一定得到＝，故A错误；

B、c＝0时不成立，故B错误；

C、a＝0，c＝0时不成立，故C错误；

D、由一定得到ad＝bc，故D正确；

故选：D．

6．下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（　　）

A．1 B．74 C．5.4 D．1.5

【解答】解：A、10×1≠6×9，1不能与6，9，10组成比例，故错误；

B、6×74≠9×10，74不能与6，9，10组成比例，故错误；

C、5.4×10＝6×9，5.4能与6，9，10组成比例；故正确；

D、1.5×10≠6×9，1.5不能与6，9，10组成比例，故错误．

故选：C．

7．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）

A．两个直角三角形 

B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 

C．有一个角为40°的两个等腰三角形 

D．有一个角为100°的两个等腰三角形

【解答】解：两个直角三角形不一定相似；

因为只有一个直角相等，

∴A不一定相似；

两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；

因为这个对应角不一定是夹角；

∴B不一定相似；

有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；

因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，

∴C不一定相似；

有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；

因为100°的角只能是顶角，

所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，

∴D一定相似；

故选：D．

8．若＝，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵＝，

∴m＝n，

∴＝＝．

故选：A．

9．下列说法正确的是（　　）

A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似 

C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似

【解答】解：∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，

∴所有正方形都是相似多边形，

故选：C．

10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）

A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8

【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，

∵AB＝AC，

∴BH＝CH＝BC＝2，

在Rt△ABH中，AH＝＝，

∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，

∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，

∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，

∴DE＝2HE＝4﹣8

∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．

故选：A．

二、填空题（共5小题）

11．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长是　5　．

【解答】解：∵m：n＝2：8＝1：4，

∴x：y＝1：4，

∵y＝20，

∴x＝5．

12．若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是　25：4　．

【解答】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，

∴这两个多边形的面积比是52：22，

即这两个多边形的面积比是25：4，

故答案为：25：4．

13．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　　．

【解答】解：设线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，

∴较长线段AD＝BC＝x，

则CD＝AD+BC﹣AB＝x﹣2×＝1，

解得：x＝2+．

故答案为：2+

14．已知＝，则＝　　．

【解答】解：∵＝，

∴＝，

∴﹣＝，

∴＝．

故答案为：．

15．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是　1：4　．

【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，

所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．

三、解答题（共5小题）

16．在一张比例尺为1：20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．

【解答】解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：20，周长的比就是相似比，设实际周长是xcm，则

24：x＝1：20，

解得：x＝480，

面积的比等于相似比的平方，设实际面积是ycm2，则

20：y＝（1：20）2，

解得y＝8000，

答：这个区域的实际周长480cm，面积8000cm2．

17．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（　假　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　命题）

③两个大小不同的正方形相似．（　真　命题）

（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；

③两个大小不同的正方形相似，是真命题；

故答案为：假，假，真；

（2）证明：如图，连接BD，B1D1．

∵∠BCD＝∠B1C1D1，且，

∴△BCD∽△B1C1D1，

∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，

∵，

∴，

∵∠ABC＝∠A1B1C1，

∴∠ABD＝∠A1B1D1，

∴△ABD∽△A1B1D1，

∴，

∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

18．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）

【解答】解：根据已知条件可知：

下半身长是165×0.6＝99（厘米），

设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得

＝0.618，

解得：y≈8，

经检验y≈8是原方程的根，

答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋．

19．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．

（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；

（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

【解答】解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：

（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝36°，

∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，

又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BD＝BC，

∴△BDC是黄金三角形．

20．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．

【解答】解：设＝＝＝k，

则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，

所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，

解得k＝2，

所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，

所以a：b：c＝4：8：7．