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专题03 ： 23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练 2021-2022学年人教版九年级数学上册
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这是一份专题03 ： 23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练 2021-2022学年人教版九年级数学上册，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题03 ：2021年人教新版九年级（上册）23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1）
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（1，﹣） D．（2，﹣1）
6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
7．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
9．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
10．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
二、填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝ 度．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5
其中正确的结论是 ．
14．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
15．如图，把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转 度后，所得图形与原图形重合．
三、解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN＝AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
19．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
专题03 ：2021年人教新版九年级（上册）23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【解答】解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1）
【解答】解：作AB⊥x轴于点B，A′C⊥x轴于点C，
∴AB＝、OB＝1，
则tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOy＝30°
∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，
OA′＝OA＝＝2，∠A′OC＝30°，
∴A′C＝1、OC＝，即A′（，﹣1），
故选：D．
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（1，﹣） D．（2，﹣1）
【解答】解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC＝60°﹣30°＝30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC＝×2＝，
A1C＝×2＝1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝．
故选：D．
7．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
【解答】解：画图如下：
则A'（5，﹣1），
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝5，
∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
9．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，
∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，
又∵∠CDF+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△DCG与△DEF中，，
∴△DCG≌△DEF（AAS），
∴EF＝CG，
∵AD＝2，BC＝3，
∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
∴EF＝1，
∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选：A．
二、填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝ 46 度．
【解答】解：∵∠A＝27°，∠B＝40°，
∴∠ACA′＝∠A+∠B＝27°+40°＝67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠B′CA＝∠A′CB﹣∠B′CA，
即∠BCB′＝∠ACA′，
∴∠BCB′＝67°，
∴∠ACB′＝180°﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
故答案为：46．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【解答】解：如图：
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC＝4．
由∠BAC＝90°，AB＝AC，
得AB＝2，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
A（4，3），
设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2，
yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5
其中正确的结论是 ①②③ ．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，
∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，
∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF，
∴AE＝EG＝GF＝FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确．
∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
14．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 （﹣4，3） ．
【解答】解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
15．如图，把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转 90 度后，所得图形与原图形重合．
【解答】解：把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转360°÷4＝90°后，所得图形与原图形重合，
故答案为：90．
三、解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，
∵AD＝BF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝67.5°
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得：∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF＝180°，
∴∠EFC＝90°，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN＝AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE＝EB，
∵AB∥DC，
∴＝＝，
同理，＝，
∴MN＝AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝120°，又∠ADE＝∠CDF＝30°，
∴∠EDF＝60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°，
DE＝DF＝，∠DEG＝∠DFP＝90°，
在△DEG和△DFP中，
，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG＝DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积＝DG2＝3，
解得，DG＝2，
则cos∠EDG＝＝，
∴∠EDG＝60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．
19．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH＝HB，
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
又因为∠OAD+∠ADO＝90°，
所以∠ADO+∠BOH＝90°，
所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵BH＝CH，EH＝OH，∠BHE＝∠OHC，
∴△BHE≌△CHO，
∴BE＝OC＝OD，∠E＝∠COH，
∴BE∥OC，
∴∠OBE+∠BOC＝180°，∵∠BOC+∠AOD＝180°
∴∠OBE＝∠AOD，
在△BEO和△ODA中，
∴△BEO≌△ODA，
∴OE＝AD
∴OH＝OE＝AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，延长EO交AD于G．
∵BH＝CH，EH＝OH，∠BHE＝∠OHC，
∴△BHE≌△CHO，
∴BE＝OC＝OD，∠E＝∠COH，
∴BE∥OC，
∴∠OBE+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠OBE＝∠AOD，
在△BEO和△ODA中，
∴△BEO≌△ODA
∴OE＝AD
∴OH＝OE＝AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO
∴∠DAO+∠AOG＝∠EOB+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝90°
∴OH⊥AD．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝2，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．
专题03 ：2021年人教新版九年级（上册）23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1）
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（1，﹣） D．（2，﹣1）
6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
7．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
9．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
10．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
二、填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝ 度．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5
其中正确的结论是 ．
14．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
15．如图，把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转 度后，所得图形与原图形重合．
三、解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN＝AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
19．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
专题03 ：2021年人教新版九年级（上册）23.1 图形的旋转 - 期末复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【解答】解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1）
【解答】解：作AB⊥x轴于点B，A′C⊥x轴于点C，
∴AB＝、OB＝1，
则tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOy＝30°
∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，
OA′＝OA＝＝2，∠A′OC＝30°，
∴A′C＝1、OC＝，即A′（，﹣1），
故选：D．
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（1，﹣） D．（2，﹣1）
【解答】解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC＝60°﹣30°＝30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC＝×2＝，
A1C＝×2＝1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝．
故选：D．
7．如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
【解答】解：画图如下：
则A'（5，﹣1），
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝5，
∴AB＝AB′＝5，故OB′＝8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
9．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，
∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD，
又∵∠CDF+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDF，
在△DCG与△DEF中，，
∴△DCG≌△DEF（AAS），
∴EF＝CG，
∵AD＝2，BC＝3，
∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
∴EF＝1，
∴△ADE的面积是：×AD×EF＝×2×1＝1．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选：A．
二、填空题（共5小题）
11．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝ 46 度．
【解答】解：∵∠A＝27°，∠B＝40°，
∴∠ACA′＝∠A+∠B＝27°+40°＝67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠B′CA＝∠A′CB﹣∠B′CA，
即∠BCB′＝∠ACA′，
∴∠BCB′＝67°，
∴∠ACB′＝180°﹣∠ACA′﹣∠BCB′＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
故答案为：46．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【解答】解：如图：
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC＝4．
由∠BAC＝90°，AB＝AC，
得AB＝2，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
A（4，3），
设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2，
yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5
其中正确的结论是 ①②③ ．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，
∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，
∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF，
∴AE＝EG＝GF＝FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确．
∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
14．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 （﹣4，3） ．
【解答】解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
15．如图，把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转 90 度后，所得图形与原图形重合．
【解答】解：把这个“十字星”形图绕其中心点O旋转，当至少旋转360°÷4＝90°后，所得图形与原图形重合，
故答案为：90．
三、解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，
∵AD＝BF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝67.5°
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得：∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝∠BCD，
∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF＝180°，
∴∠EFC＝90°，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS），
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN＝AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE＝EB，
∵AB∥DC，
∴＝＝，
同理，＝，
∴MN＝AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝120°，又∠ADE＝∠CDF＝30°，
∴∠EDF＝60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°，
DE＝DF＝，∠DEG＝∠DFP＝90°，
在△DEG和△DFP中，
，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG＝DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积＝DG2＝3，
解得，DG＝2，
则cos∠EDG＝＝，
∴∠EDG＝60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．
19．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH＝HB，
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
又因为∠OAD+∠ADO＝90°，
所以∠ADO+∠BOH＝90°，
所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵BH＝CH，EH＝OH，∠BHE＝∠OHC，
∴△BHE≌△CHO，
∴BE＝OC＝OD，∠E＝∠COH，
∴BE∥OC，
∴∠OBE+∠BOC＝180°，∵∠BOC+∠AOD＝180°
∴∠OBE＝∠AOD，
在△BEO和△ODA中，
∴△BEO≌△ODA，
∴OE＝AD
∴OH＝OE＝AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，延长EO交AD于G．
∵BH＝CH，EH＝OH，∠BHE＝∠OHC，
∴△BHE≌△CHO，
∴BE＝OC＝OD，∠E＝∠COH，
∴BE∥OC，
∴∠OBE+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠OBE＝∠AOD，
在△BEO和△ODA中，
∴△BEO≌△ODA
∴OE＝AD
∴OH＝OE＝AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO
∴∠DAO+∠AOG＝∠EOB+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝90°
∴OH⊥AD．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝2，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．
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