高中人教版新课标A3.4 基本不等式第四课时导学案及答案

第四课时  基本不等式

【学习目标】

1．理解均值定理及均值不等式的证明过程

2．能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题

3．在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。

4．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

【学习重点】

应用数形结合的思想理解基本不等式

【学习难点】

应用基本不等式求最大值和最小值

[自主学习]

1．基本不等式

，

 若a>b>0,m>0,则 ；

若a,b同号且a>b则。

2．均值不等式:

两个正数的均值不等式： 变形，等。

3．最值定理:设

（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,

（2）如果x,y是正数和,则x=y时,

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

[课前热身]

1. 已知，且，则的最大值为          .

2. 若,则的最小值为         ．

3. 已知：，且，则的最小值是             .

4. 已知下列四个结论

①当；②；

③的最小值为2；④当无最大值.

则其中正确的个数为             

[典型例析]

例1（1）已知，求函数的最大值.

（2）求函数的最小值求的最大值.

变式训练

（1）已知x、y为正实数，且，求x+y的最小值。

（2） 已知，且，求的最大值．

例2  某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问x y分别为多少时用料最省？

例3 已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，最大？

[当堂检测]

1. 已知，则的最小值是            .

2.若x，y是正数，则的最小值是          

3. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为               ．

4．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为        

[学后反思]____________________________________________________ _______

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