高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第1课时课时练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第1课时课时练习，共5页。试卷主要包含了能利用基本不等式求代数式的最值等内容，欢迎下载使用。
第1课时　基本不等式1．理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件．2．能利用基本不等式求代数式的最值．1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥____，当且仅当______时，等号成立．(1)公式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明．(2)公式中a2＋b2≥2ab常变形为ab≤或a2＋b2＋2ab≥4ab或2(a2＋b2)≥(a＋b)2等形式，要注意灵活掌握．【做一做1】 x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)A.     B．1     C．2      D．42．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把____叫做正数a，b的算术平均数，把____叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤____，当且仅当______时，等号成立．(3)几何意义：半弦不大于半径．如图所示，AC=a，CB=b，则OD=_______，DC= =DE，则DC≤OD.(4)变形：，a+b≥ (其中a＞0，b＞0，当且仅当a=b时等号成立)．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．【做一做2】 已知ab＝16，a＞0，b＞0，则a＋b的最小值为__________． 答案：1．2ab　a＝b【做一做1】 C2．(1)　　(2)　a＝b　(3)【做一做2】 81．应用基本不等式≤求最值的条件剖析：应用基本不等式≤求最值的条件是一正二定三相等，具体如下：一正：a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误的答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，那么显然这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用基本不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2.由此看，所求最值的代数式中的各项不都是正数时，要利用变形，先转化为各项都是正数的代数式，再求最值．二定：ab与a＋b有一个是定值．即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误的答案，陷入困境．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，显然这是一个错误的答案．其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋＝＋1≥2＋1＝3.由此看，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．三相等：等号能够成立，即存在正数a，b使基本不等式两边相等．也就是存在正数a，b，使得＝.如果忽视这一点，就会得出错误的答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是基本不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，所以函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝.2．与基本不等式有关的常用结论剖析：(1)已知x，y∈R，①若x2＋y2＝S(平方和为定值)，则xy≤，当且仅当x＝y时，积xy取得最大值；②若xy＝P(积为定值)，则x2＋y2≥2P，当且仅当x＝y时，平方和x2＋y2取得最小值2P.(2)已知x＞0，y＞0，①若x＋y＝S(和为定值)，则xy≤，当且仅当x＝y时，积xy取得最大值；②若xy＝P(积为定值)，则x＋y≥2，当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2.题型一  比较大小【例题1】 当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是(　　)A.      B.      C.     D.反思：在比较n个数的大小时，若从中确定一个最小(大)者，则可以把n个数分组，在每一组中确定一个最小(大)者，再将这些最小(大)者进行比较．由此题的讨论可以看到≤≤≤(a，b大于0，当且仅当a＝b时，等号成立．)题型二  利用基本不等式求最值【例题2】 已知a＞3，求＋a的最小值．分析：直接使用基本不等式无法约掉字母a，而＋a＝＋(a－3)＋3.这样变形后，再用基本不等式可得证．反思：如果要求最值的代数式不符合基本不等式的形式，可先通过适当变形，将其配凑成可使用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最值．如本题中，将＋a凑成＋(a－3)＋3后就可以用基本不等式求最值．【例题3】 已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值．分析：由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可以用整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解．反思：本题易错解为：由＋＝1，得＋≥2＝，∴xy≥36.∴x＋y≥2＝12.这显然是错误的，因为两个不等式中，不能同时取得“等号”，即不存在满足题设条件的x，y，使(x＋y)min＝12.题型三  易错辨析【例题4】 求函数y＝x＋的值域．错解：∵x＋≥2＝2，∴函数值域为[2，＋∞)．错因分析：上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应大于零，因而导致错误．因为函数y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以需对x的符号加以讨论． 答案：【例题1】 D　∵a＞0，b＞0，a≠b，∴＞，∵a2＋b2＞2ab，∴＞，∴选项A，B，C中，最小．又a＋b＞2＞0，∴＜1，由于＞0，两边同乘以，得·＜，∴＜，∴最小．【例题2】 解：∵a＞3，∴a－3＞0.由基本不等式，得＋a＝＋a－3＋3≥2·＋3＝2×＋3＝7.当且仅当＝a－3，即a＝5时取等号．∴＋a的最小值是7.【例题3】 解：∵x，y均为正数，且＋＝1，显然x＞1，∴y＝.∴x＋y＝x＋＝＝＝(x－1)＋＋10≥2×3＋10＝16.当且仅当x＝4时取等号，即(x＋y)min＝16.【例题4】 正解：函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＞0时，由基本不等式，得y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立；当x＜0时，y＝x＋＝－.∵－x＞0，∴(－x)＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，∴y＝x＋≤－2.综上可知，函数y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1 (2011·山东济南一模)若x＞0，则的最小值为(　　)A．2     B．3     C．     D．42已知2a＋b＝1，a＞0，b＞0，则的最小值是(　　)A．        B．C．       D．3(2011·安徽合肥一模)若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为(　　)A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)    B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)       D．[－4,4]4若a＞b＞1，，，，则下列结论正确的是(　　)A．R＜P＜Q       B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R       D．P＜R＜Q5设x＋3y－2＝0，则函数z＝3x＋27y＋3的最小值是(　　)A．     B．    C．6     D．9 答案：1．D　2.C　3.A　4.B　5.D