安徽省马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测数学试题含答案

马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测

理科数学试题

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|－1<x≤2}，则M∩N＝

A.(－1，2]     B.[0，2]     C.(－1，0]     D.(－1，0)

2.己知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且(2－i)z1＝|4－3i|，则z2＝

A.－2－i     B.－2＋i     C.2－i     D.2＋i

3.设a，b为两条直线，则a//b的充要条件是

A.a，b垂直于同一条直线     B.a，b垂直于同一个平面

C.a，b平行于同一个平面     D.a，b与同一个平面所成角相等

4.函数f(x)＝xcosx－在(－π，π)上的图象大致为

5.已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为

A.     B.     C.－     D.－

6.若(x＋)n的展开式中存在常数项，则n可以是

A.8     B.7     C.6     D.5

7.2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活。世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会，已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程＝0.2x＋a，则c1＝

A.－2     B.e－2     C.3     D.e3

8.小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有

A.10种     B.15种     C.21种     D.28种

9.我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效。蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成。经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)

A.0.333     B.0.4     C.0.5     D.0.667

10.已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，则sinA的值为

A.     B.     C.     D.

11.过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若△AFM与△BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为

A.±1     B.±     C.±2     D.±2

12.已知a>0，b>0，下列说法错误的是

A.若0<a<b<1，则      B.若2aea＝3beb，则a>b

C.ab＋ba>1恒成立             D.∃a∈(0，1)，使得ae－a＝

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量a＝(1，)，b＝(3，λ)，若a//(a－b)，则实数λ的值为          。

14.设变量x，y满足，则目标函数z＝3x＋2y的最小值为          。

15.曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小。己知椭圆C：上点P(x0，y0)处的曲率半径公式为。若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为          。

16.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V＝(3R－h)h2，其中R为球的半径，h为球缺的高。若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，且an＋1an＝4Sn－1(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列的前n项和为Tn。若∀n∈N*，Tn<－m2＋2m(m为奇数)，求m的值。

18.(12分)

如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG//EF，ED＝DG＝GF＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2。

(1)求证：DF⊥平面ABED；

(2)若二面角A－DG－E的余弦值为－，求点C到面BDF的距离。

19.(12分)

为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》。某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业。政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人。若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训。假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是pi(i＝1，2，3，…，7)。

(1)求p3；

(2)证明：{pi－0.5}(i＝1，2，3，…，7)为等比数列；

(3)试估算一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(0.27近似看作0)。

20.(12分)

已知双曲线x2－＝1(b≠1)的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B。

(1)设O为坐标原点，求线段OP的长度；

(2)求证：PF平分∠BFA。

21.(12分)

已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x＋a，其中a为常数。

(1)当a＝0时，求f(x)的极值；

(2)当a≥时，求证：对∀x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，不等式恒成立

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选－题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，α∈[0，π))，且直线C2与曲线C1交于A，B两点。

(1)求曲线C1的极坐标方程；

(2)当|AB|最小时，求α的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

己知函数f(x)＝|x＋4|＋|x|。

(1)解不等式f(2x－1)≤6；

(2)记函数f(x)的最小值为a，且m2＋n2＝，其中m，n均为正实数，求证：。

2021年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．   14．8    15．    16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分．

17．【解析】（1）设数列的公差为，令，则，由，

得                                 （4分）

      ．                                          （6分）

（2）

，可知恒成立，                          （9分）

，                         （11分）

又是奇数，所以．                                       （12分）

18． 【解析】（1）因为面且面，所以且，

于是，在面中，，同理，，所以，

又，所以，由面知，

因此，面．                                     （6分）

（2）取中点，由题可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，于是面，又为正三角形，所以两两垂直．  （7分）

以为坐标原点，分别为正半轴，建立空间直角坐标系，

设，则，

设面的法向量为，则有：

，不妨设得．

又与面垂直，故面的法向量不妨设为，

由，解得．

设面的法向量为，则有：

，不妨设得．    （10分）

于是，点到面的距离．              （12分）

19．【解析】（1），，            （3分）

（2）当第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为

当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为

则 ，而 

所以是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列．      （8分）

（3）设第天政府的补贴费为，则

而 ，

一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为 元．                                               （12分）

20．【解析】（1）不妨设在第二象限，则渐近线的方程为，于是直线的方程为，联立得，于是，；

      （5分）

（2）设直线的倾斜角为，则，， （6分）

又，所以直线的斜率为，直线的方程为，与双曲

线联立得：，

于是，，又， （9分）

因此直线的斜率为

，    （11分）

故平分．                                             （12分）

21．【解析】（1）当时，，， 当时，，即在上单调减；当时，，即在上单调增．          （3分）

的极小值为，无极大值．                             （5分）

（2）根据题意，要证明对，且，等价于证明．设，由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在上单调递减．                             （6分）

即证在上恒成立，即证，

，

只需证明等价于证明．             （8分）

设，令，则，，

只需证当时， ．                                      （10分）

因为，所以单调递减，所以，故原不等式成立．（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．

【解析】（1）由题，，故，即，

则，即．       （5分）

（2）法一：设，由（1），，

则，

当且仅当时，最小，此时，（）

因为，故．                          （10分）

法二：设圆心到直线的距离为，则，

又，当且仅当与直线垂直时等号成立，此时最小，

因为，，故．                   （10分）

23．【解析】（1）令，

①当时，，则

②当时，，则

③当时，，则

综上：不等式的解集为.                               （5分）

（2）因为，则，

则

又（当且仅当时取等号），则，

则，故得证．                          （10分）