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2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末模拟试题二（word版 含答案）
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2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末模拟试题二
一．选择题（共10小题，满分27分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
3．（3分）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
5．（3分）小明同学做了四道练习题：①（a+b）2＝a2+b2；②（﹣2a2）2＝﹣4a4；③a2•a3＝a5；④﹣2mn﹣mn＝﹣mn，其中他只做对了一道题，这道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
7．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ）
A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0
8．（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（ ）
A．S△ABC＝6S△BDE B．S△ABC＝7S△BDE
C．S△ABC＝8S△BDE D．S△ABC＝9S△BDE
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝ ．
12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
13．（3分）若a+＝，则a2+＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
15．（3分）若分式方程的解为x＝0，则a的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）分解因式：（2x﹣y）2+8xy；
（2）计算：[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m．
18．（8分）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2a2b﹣12ab+18b．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝+1．
20．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
21．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（2，5），C（4，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出AC边上的高线BE；
（3）画出点B关于AC的对称点F；
（4）D（2，1），点P在AB上，若∠DPA＝45°，直接写出点P的坐标．
22．（10分）某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
23．（10分）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
24．（12分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
答案与解析
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
【答案】D
【解析】0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、＝，（x+1）2≥0，则（x+1）2+3≥3，无论x取何值，分式都有意义，故此选项正确；
B、当x＝﹣时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
C、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
D、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
【答案】A
【解析】∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴，
∴，
∴m+n＝3+（﹣4）＝﹣1．
故选：A．
5．（3分）小明同学做了四道练习题：①（a+b）2＝a2+b2；②（﹣2a2）2＝﹣4a4；③a2•a3＝a5；④﹣2mn﹣mn＝﹣mn，其中他只做对了一道题，这道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A不合题意；
（﹣2a2）2＝4a4，故选项B不合题意；
a2•a3＝a5，故选项C符合题意；
﹣2mn﹣mn＝﹣3mn，故选项D不合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】C
【解析】如图，连接AD，
∵点D在AB、AC的垂直平分线上，
∴BD＝AD，DC＝AD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°＝∠BAD+∠CAD，
∴∠B+∠C＝120°，
∴∠BDC＝360°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
故选：C．
7．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ）
A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0
【答案】B
【解析】已知式子a＝2b﹣5变形为a﹣2b＝﹣5，
∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20．
故选：B．
8．（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
9．（3分）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
【答案】C
【解析】由表格可得，
第一行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，第二行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，
∴a＝8+13＝21，b＝21+34＝55，
∴a+b＝21+55＝76，
故选：C．
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（ ）
A．S△ABC＝6S△BDE B．S△ABC＝7S△BDE
C．S△ABC＝8S△BDE D．S△ABC＝9S△BDE
【答案】D
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴AC＝AE，
∵AC＝4BE
∴AE＝4BE，
∴S△ADC＝S△ADE＝AE•DE＝×4BE•DE＝4S△BDE
∴S△ABC＝9S△BDE，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝________．
【答案】﹣3ab+7b﹣4．
【解析】（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）
＝6a3b2÷（﹣2a2b）﹣14a2b2÷（﹣2a2b）+8a2b÷（﹣2a2b）
＝﹣3ab+7b﹣4．
12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是________．
【答案】±6．
【解析】∵x2+mx+9是一个完全平方式，
∴m＝±6，
13．（3分）若a+＝，则a2+＝________．
【答案】3．
【解析】∵a+＝，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝（）2﹣2＝3．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是________．
【答案】1＜AD＜7．
【解析】∵BC＝8，AD是BC边上的中线，
∴BD＝4，
∴4﹣3＜AD＜4+3，
即1＜AD＜7．
15．（3分）若分式方程的解为x＝0，则a的值为________．
【答案】5．
【解析】把x＝0代入方程得：＝1，解得：a＝5，
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝________．
【答案】1．
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝30°，
连接AN，AM，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵MN＝2，
∴AN＝2＝CN，
在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，
∴NF＝CN＝1，
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）分解因式：（2x﹣y）2+8xy；
（2）计算：[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m．
【答案】见解析
【解析】（1）（2x﹣y）2+8xy
＝4x2﹣4xy+y2+8xy
＝4x2+4xy+y2
＝（2x+y）2；
（2）[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m
＝（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1．
18．（8分）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2a2b﹣12ab+18b．
【答案】见解析
【解析】（1）4a2﹣16
＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）2a2b﹣12ab+18b
＝2b（a2﹣6a+9）
＝2b（a﹣3）2．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝+1．
【答案】见解析
【解析】（1）去分母得：x+2＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
20．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
【答案】见解析
【解析】原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
21．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（2，5），C（4，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出AC边上的高线BE；
（3）画出点B关于AC的对称点F；
（4）D（2，1），点P在AB上，若∠DPA＝45°，直接写出点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）∵AB＝2，BC＝，AB＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图，线段BE即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
（4）∵A（0，1），B（2，5），
∴直线AB的解析式为y＝2x+1，
设P（m，2m+1），取J（1，2），连接AJ，DJ，则△ADJ是等腰直角三角形，
∴JA＝JD＝，
∵∠DPA＝∠AJD＝45°，
∴点P在以J为圆心，为半径的圆上，PJ＝
∴（m﹣1）2+（2m+1﹣2）2＝（）2，
解得m＝0（舍弃）或，
∴．
22．（10分）某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
【答案】见解析
【解析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，
依题意，得：＝×，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝16．
答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元．
（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，
依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，
解得：m≥50．
答：最少要购买50件B种纪念品．
23．（10分）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是________，此时BD和CE的数量关系是________；
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS），
所以BD＝CE，
故答案为：△AEC，BD＝CE；
（2）BD＝CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB＝∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS），
所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，
即∠DBC+∠ECB＝90°，
所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，
所以BD⊥CE，
综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；
（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；
因为△ABD和△ACE是等边三角形，
所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，
所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
所以∠CAD＝∠EAB，
在△ACD和△AEB中，，
所以△ACD≌△AEB（SAS），
所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP
＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP
＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）
＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）
＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB
＝60°，
所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．
24．（12分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝＝＝3，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°+α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM+CN＝6+3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3
2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末模拟试题二
一．选择题（共10小题，满分27分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
3．（3分）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
5．（3分）小明同学做了四道练习题：①（a+b）2＝a2+b2；②（﹣2a2）2＝﹣4a4；③a2•a3＝a5；④﹣2mn﹣mn＝﹣mn，其中他只做对了一道题，这道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
7．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ）
A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0
8．（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（ ）
A．S△ABC＝6S△BDE B．S△ABC＝7S△BDE
C．S△ABC＝8S△BDE D．S△ABC＝9S△BDE
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝ ．
12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
13．（3分）若a+＝，则a2+＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
15．（3分）若分式方程的解为x＝0，则a的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）分解因式：（2x﹣y）2+8xy；
（2）计算：[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m．
18．（8分）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2a2b﹣12ab+18b．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝+1．
20．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
21．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（2，5），C（4，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出AC边上的高线BE；
（3）画出点B关于AC的对称点F；
（4）D（2，1），点P在AB上，若∠DPA＝45°，直接写出点P的坐标．
22．（10分）某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
23．（10分）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
24．（12分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
答案与解析
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
【答案】D
【解析】0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：D．
3．（3分）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、＝，（x+1）2≥0，则（x+1）2+3≥3，无论x取何值，分式都有意义，故此选项正确；
B、当x＝﹣时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
C、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
D、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
【答案】A
【解析】∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴，
∴，
∴m+n＝3+（﹣4）＝﹣1．
故选：A．
5．（3分）小明同学做了四道练习题：①（a+b）2＝a2+b2；②（﹣2a2）2＝﹣4a4；③a2•a3＝a5；④﹣2mn﹣mn＝﹣mn，其中他只做对了一道题，这道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A不合题意；
（﹣2a2）2＝4a4，故选项B不合题意；
a2•a3＝a5，故选项C符合题意；
﹣2mn﹣mn＝﹣3mn，故选项D不合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝120°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】C
【解析】如图，连接AD，
∵点D在AB、AC的垂直平分线上，
∴BD＝AD，DC＝AD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°＝∠BAD+∠CAD，
∴∠B+∠C＝120°，
∴∠BDC＝360°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
故选：C．
7．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ）
A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0
【答案】B
【解析】已知式子a＝2b﹣5变形为a﹣2b＝﹣5，
∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20．
故选：B．
8．（3分）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
9．（3分）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
【答案】C
【解析】由表格可得，
第一行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，第二行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，
∴a＝8+13＝21，b＝21+34＝55，
∴a+b＝21+55＝76，
故选：C．
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（ ）
A．S△ABC＝6S△BDE B．S△ABC＝7S△BDE
C．S△ABC＝8S△BDE D．S△ABC＝9S△BDE
【答案】D
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴AC＝AE，
∵AC＝4BE
∴AE＝4BE，
∴S△ADC＝S△ADE＝AE•DE＝×4BE•DE＝4S△BDE
∴S△ABC＝9S△BDE，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝________．
【答案】﹣3ab+7b﹣4．
【解析】（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）
＝6a3b2÷（﹣2a2b）﹣14a2b2÷（﹣2a2b）+8a2b÷（﹣2a2b）
＝﹣3ab+7b﹣4．
12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是________．
【答案】±6．
【解析】∵x2+mx+9是一个完全平方式，
∴m＝±6，
13．（3分）若a+＝，则a2+＝________．
【答案】3．
【解析】∵a+＝，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝（）2﹣2＝3．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是________．
【答案】1＜AD＜7．
【解析】∵BC＝8，AD是BC边上的中线，
∴BD＝4，
∴4﹣3＜AD＜4+3，
即1＜AD＜7．
15．（3分）若分式方程的解为x＝0，则a的值为________．
【答案】5．
【解析】把x＝0代入方程得：＝1，解得：a＝5，
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝________．
【答案】1．
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝30°，
连接AN，AM，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵MN＝2，
∴AN＝2＝CN，
在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，
∴NF＝CN＝1，
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）分解因式：（2x﹣y）2+8xy；
（2）计算：[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m．
【答案】见解析
【解析】（1）（2x﹣y）2+8xy
＝4x2﹣4xy+y2+8xy
＝4x2+4xy+y2
＝（2x+y）2；
（2）[6m2（2m﹣1）+3m]÷3m
＝（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1．
18．（8分）因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2a2b﹣12ab+18b．
【答案】见解析
【解析】（1）4a2﹣16
＝4（a2﹣4）
＝4（a+2）（a﹣2）；
（2）2a2b﹣12ab+18b
＝2b（a2﹣6a+9）
＝2b（a﹣3）2．
19．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝+1．
【答案】见解析
【解析】（1）去分母得：x+2＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
20．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
【答案】见解析
【解析】原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
21．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（2，5），C（4，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出AC边上的高线BE；
（3）画出点B关于AC的对称点F；
（4）D（2，1），点P在AB上，若∠DPA＝45°，直接写出点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）∵AB＝2，BC＝，AB＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图，线段BE即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
（4）∵A（0，1），B（2，5），
∴直线AB的解析式为y＝2x+1，
设P（m，2m+1），取J（1，2），连接AJ，DJ，则△ADJ是等腰直角三角形，
∴JA＝JD＝，
∵∠DPA＝∠AJD＝45°，
∴点P在以J为圆心，为半径的圆上，PJ＝
∴（m﹣1）2+（2m+1﹣2）2＝（）2，
解得m＝0（舍弃）或，
∴．
22．（10分）某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
【答案】见解析
【解析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，
依题意，得：＝×，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝16．
答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元．
（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，
依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，
解得：m≥50．
答：最少要购买50件B种纪念品．
23．（10分）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是________，此时BD和CE的数量关系是________；
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS），
所以BD＝CE，
故答案为：△AEC，BD＝CE；
（2）BD＝CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB＝∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS），
所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，
即∠DBC+∠ECB＝90°，
所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，
所以BD⊥CE，
综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；
（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；
因为△ABD和△ACE是等边三角形，
所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，
所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
所以∠CAD＝∠EAB，
在△ACD和△AEB中，，
所以△ACD≌△AEB（SAS），
所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP
＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP
＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）
＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）
＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB
＝60°，
所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．
24．（12分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（Ⅰ）求BD的长度；
（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝＝＝3，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°+α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM+CN＝6+3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3
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