黑龙江省哈尔滨市第一中学2022届高三上学期期末考试数学（理）试题含答案

  哈尔滨市第一中学校

    2021-2022学年度上学期期末考试

高三数学（理）试卷

出题人：胡海欧                 审题人：高颖

考试时间：120分钟        分值：150分

第Ⅰ卷  选择题（60分）

一、选择题：（本题共12小题，共60分，只有一项符合题目要求，每小题5分）

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

2．已知命题，则是（    ）

A． B．

C． D．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图)，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图)，半椭球面方程为，该建筑设计图纸的比例(长度比)为(单位：)，则该建筑的占地面积为（    ）

A． B． C． D．

5．已知向量，，则下列说法错误的是（    ）

A．若，则的值为

B．的最小值为1

C．若，则的值为2

D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是且

6．如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（    ）

A．                B．               C．              D．

7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是

A．AB与CF成60°角 B．BD与EF成60°角

C．AB与CD成60° D．AB与EF成60°角

8．已知数列满足，则（    ）

A.   B.   C.   D.

9．在的二项展开式中含项的系数为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

12．函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷  非选择题（90分）

二、填空题（共20分，每题5分，请把答案写到答题卡的相应位置。）

13．已知函数的图象恒过点，若点在角的终边上，则____________.

14．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.

15．若等差数列满足，，则当__   _时，的前项和最大．

16．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的是                              

①⊥平面

②该二十四等边体的体积为

③该二十四等边体外接球的表面积为8π

④与平面所成角的正弦值为

三、解答题（本题共6小题，共70分，17-21每题12分，22题10分）

17．（本小题满分12分）已知的内角所对的边分别是，，

（1）若，求；

（2）求的最大值，以及此时的内角.

18.（本小题满分12分）

设数列的前项和为，且满足，是公差不为0的等差数列，，是与的等比中项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.

19．（本小题满分12分）在核酸检测中, “合1” 混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确（I）将这100人随机平均分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

(II）将这100人随机平均分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.试求两名感染者在同一组的概率

20．（本小题满分12分）木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体的底面为一个矩形，，，平面，棱，设，分别是，的中点.

（1）证明：，，，四点共面，且平面平面；

（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

21．（本小题满分12分）已知函数.

（1）若曲线在处的切线经过点，求.

（2）已知，证明：当时，.

22．（本小题满分10分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为

（1）求和的直角坐标方程；

（2）求上的点到距离的最小值．

高三数学（理）试卷答案

一、    选择题:

二、    填空题:

13.                     14.  

15.       8              16.    ②③④   

三、解答题

17.（1）

，在中，由正弦定理得：，

由余弦定理得：，而，则，

因，利用正弦定理得：，而，即角B为锐角，因此，，

所以；

（2）由(1)知，在中，，由正弦定理得：，

则，

而，则，于是得当时，取得最大值，此时，

所以的最大值是，此时.

18.

19.【答案】（1）①次；（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

（2）由题意，

两名感染者在同一组的概率为，

20.（1）因为平面，且平面，

又因为平面平面，所以，

又由，是矩形两边，的中点，

所以，，所以，，，四点共面，

因为，所以，

又因为，而平面，平面，且，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）在平面内过作于，平面

由（1）知平面平面，平面平面，

所以平面，

又因为，，则二面角的平面角为，

所以，

在直角和直角中，，

且，所以，

过作边的垂线交，于点，，以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量，

则，得，取法向量，

设直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值.

21.（1）因为，

所以曲线在处的切线斜率为，

又，

所以，整理得，即.

（2）

证明：设函数，

则，

设函数，则.

显然在为增函数

因为，所以，

所以对恒成立，则在上单调递增，

从而.

因为，所以，则，

从而对恒成立，则在上单调递增，

所以，从而.

22.（1）由，，得可化为，

所以的直角坐标方程为．

可化为，

所以的直角坐标方程为．

（2）曲线的参数方程为（为参数），设上点的坐标为

则上的点到直线的距离，

当时，取得最小值，且．