四川省巴中市南江中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学（文）含答案

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参考答案与试题解析
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A
D
D
B
D
C
A
B
D
C
D
B

13　3　．14. 15,.±4． 16　①②③④　．

一．选择题（共12小题）
1．抛物线x2＝y的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据方程得出焦点在y轴正半轴上，p＝即可求出焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线x2＝y，
∴焦点在y轴正半轴上，p＝，
∴焦点坐标为（0，），
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的方程与几何性质，求解焦点坐标，属于容易题．
2．已知椭圆一个焦点（2，0），离心率为，则椭圆的标准方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，离心率，求解a，b，即可得到椭圆方程．
【解答】解：椭圆一个焦点（2，0），离心率为，
可得c＝2，a＝4，所以b＝2，
所以椭圆的标准方程．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．
3．若椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到焦点F2的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用椭圆方程求解a，结合椭圆的定义即可得出．
【解答】解：椭圆，可得a＝3．
椭圆上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到焦点F2的距离为|PF2|，
由椭圆的定义可得：2+|PF2|＝2×a＝6，
解得|PF2|＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（　　）
A． B． C．5 D．
【分析】由双曲线，可得：a2＝15，b2＝10，可得c＝＝5，渐近线方程为：y＝±x，利用点到直线的距离公式可得焦点到C的渐近线的距离．
【解答】解：由双曲线，
可得：a2＝15，b2＝10，
∴c＝＝5，渐近线方程为：y＝±x，即x±3y＝0．
焦点（±5，0）到C的渐近线的距离d＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，设椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞0），由椭圆的离心率公式可得＝，又由△ABF2的周长为16，分析可得a的值，解可得c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，设椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞0），
椭圆的离心率为，则有e＝＝，
又由△ABF2的周长为16，则有4a＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝16，即a＝4，
又由e＝＝，即 ＝，解可得c＝2，
则b2＝a2﹣c2＝42﹣（2）2＝4，
则椭圆的方程为：+＝1．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的定义与简单的几何性质的应用，解题时注意△ABF2的周长即4a．
6．已知椭圆x2+my2＝1（m＞0）的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【分析】将椭圆的方程化为标准方程，可得a2，b2的值，再由长轴长是短轴长的两倍，可得a2＝4b2，求出m的值．
【解答】解：椭圆x2+my2＝1（m＞0）化为标准方程：x2+＝1，
因为椭圆的焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，
再由长轴长是短轴长的两倍，可得a2＝4b2，即4＝，
解得m＝，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义及性质的应用，属于基础题．
7．已知l，m是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若l⊥α，m∥l，m⊂β，则α⊥β B．若α∥β，l∥α，则l∥β
C．若l⊥m，l⊥α，α∥β，则m∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】由直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的判定判断A；由平面与平面平行、直线与平面平行分析线面关系判断B；由直线与平面垂直、平面与平面平行分析线面关系判断C；由平面与平面垂直、直线与平面平行分析线面关系判断D．
【解答】解：若l⊥α，m∥l，则m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，故A正确；
若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故B错误；
若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又l⊥m，m∥β或m⊂β，故C错误；
若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8．已知椭圆x2+2y2＝4上一点P到其左焦点F的距离为1，则PF的中点M到坐标原点O的距离为（　　）
A．3 B． C．1 D．
【分析】根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a﹣|PF1|，在△PF1F2中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．
【解答】解：∵椭圆x2+2y2＝4．化为椭圆，a＝2，b＝，
c＝，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
结合|PF1|＝1，得|PF2|＝2a﹣|PF1|＝4﹣1＝3，
PF的中点M，O是的F1F2中点，
∵OM是△PF1F2的中位线，
∴|OM|＝|PF2|＝×3＝．
故选：B．

【点评】本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点A（2，2），则|PA|+|PF|的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义，以及抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的准线l：x＝﹣1，
显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图所示，

在抛物线C上任取不同于点P的点P’，过P作PN⊥l于点N，连接PF，AN，P'A，P'F，
由抛物线的定义可知，|PA|+|PF|＝|PA|+|PM|＝|AM|＜|AN|＜|P'N|+|P'A|＝|P'A|+|P'F|，
故（|PA|+|PF|）min＝|AM|＝2﹣（﹣1）＝3，即点P是过A作准线的垂线与抛物线C的交点时，|PA|+|PF|取最小值，
故|PA|+|PF|的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
10．有以下命题：
①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直；
②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行；
③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；
④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，根据线面垂直的定义进行判断；对于②，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；对于③，由线面垂直的定义判断；对于④，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行；对于⑤，由平行公理得判断．
【解答】解：对于①，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，
有且仅有一条，故①正确；
对于②，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，
在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，
故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故②不正确；
对于③，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，，故③正确；
对于④，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④不正确；
对于⑤，由平行公理得：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
11．如图所示的三棱锥P﹣ABC中，D是棱PB的中点，已知PA⊥底面ABC，PA＝BC＝2，AB＝4，AB⊥BC，则异面直线PC，AD所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平面几何知识求得PC，PB和AD的长，取BC的中点M，连接MD，MA，则∠ADM或其补角即为所求，再在△ADM中，由余弦定理，即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝20，
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，
所以PC＝＝2，PB＝＝2，AD＝PB＝，

取BC的中点M，连接MD，MA，则AM2＝AB2+BM2＝17，
因为D为PB的中点，所以DM∥PC，DM＝PC＝，
所以异面直线PC，AD所成角即为DM和AD所成的角，也即∠ADM或其补角，
在△ADM中，由余弦定理知，cos∠ADM＝＝＝﹣，
所以sin∠ADM＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线夹角的求法，余弦定理，利用平移思想找出异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题．
12．设P，Q分别为x2+（y﹣6）2＝4和椭圆+y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）
A．5 B．5+2 C．9 D．6
【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），满足椭圆+y2＝1，
∵圆x2+（y﹣6）2＝4的圆心为（0，6），半径为2，
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为＝≤5，
∴P，Q两点间的最大距离是5+2．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
13．若双曲线的一个焦点为F（2，0），则实数m＝　3　．
【分析】根据双曲线方程m+1＝4即可得解．
【解答】解：双曲线的一个焦点为F（2，0），
所以m＞0且m+1＝4，
所以m＝3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查由双曲线方程求参数值的方法，属于基础题．
14．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，点P在椭圆上，PF2⊥x轴，则△PF1F2的面积为 　　．
【分析】求出P点坐标，再由面积公式即可求得答案．
【解答】解：由题意不妨设F1（﹣，0），F2（，0），
因为PF2⊥x轴，所以P（，±），
因为△PF1F2的面积＝|PF2||F1F2|＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题．
15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，y0），F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，则y0的值为 　±4　．
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得p＝4，即可得抛物线方程，将P的横坐标代入，即可求解．
【解答】解：∵点P（2，y0）为抛物线上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，
∴抛物线的定义，可得2+＝4，解得p＝4，
∴y2＝8x，
∵P的横坐标为2，
∴＝2×8＝16，解得y0＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
16．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED是异面直线；
②CN与BE平行；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
请写出所有正确结论的序号 　①②③④　．

【分析】由正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，判断题目中的命题即可．
【解答】解：由已知正方体的平面展开图，得到正方体的直观图，如图所示：

由正方体的几何特征得：
对于①，显然BM与DE异面，①正确；
对于②，因为EN∥BC，且EN＝BC，
所以四边形NEBC为平行四边形，
所以CN∥BE，②正确；
对于③，由②可知，CN∥BE，所以∠EBM（或其补角）为异面直线CN与BM所成角，
因为三角形EBM为等边三角形，所以∠EBM＝60°，③正确；
对于④，因为DM⊥CN，BC⊥DM，CN∩BC＝C，BC⊂平面BCN，CN⊂平面BCN，
所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了正方体的平面展开图，线面垂直的判定和性质，是中档题．
三．解答题（共13小题）
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M，N分别是BC，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求证：BC⊥AN．
【分析】（1）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得证明；
（2）由线面垂直的性质和判定定理，可得证明．
【解答】证明：（1）因为M，N分别是BC，PC的中点，所以MN∥PB，
而MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以MN∥平面PAB；（4分）
（2）由PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
可得PA⊥BC，
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
则BC⊥平面PAC，
而AN⊂平面PAC，
所以BC⊥AN．（10分）
【点评】本题考查空间中线面平行和线面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
18．已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．
【分析】（1）结合两直线垂直时斜率的关系求出直线l的斜率，进而可以求出结果；
（2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理列出方程即可求出结果．
【解答】解：（1）因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，
故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0．（6分）
（2）圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
圆心（0，0）到直线l的距离为，
则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17．（12分）
【点评】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程的求解等知识，属于基础题．
19．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y＝kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得 k2x2﹣（4k+8）x+4＝0，根据题意可得Δ＝64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝﹣，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+∴p＝4
∴抛物线C的方程为y2＝8x（4分）
（Ⅱ）由消去y，得 k2x2﹣（4k+8）x+4＝0
∵直线y＝kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，Δ＝64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，
又＝2，
解得 k＝2，或k＝﹣1（舍去）
∴k的值为2．（12分）
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系．
20．如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且四边形ABCD与四边形DBNM是正方形．
（1）求证：平面ACN⊥平面BDMN；
（2）若AB＝2，求三棱锥D﹣MAC的体积．

【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后证明面面垂直即可；
（2）由题意结合几何体的特征转化顶点求解三棱锥的体积即可．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为平面ABCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM＝BD，AC⊆平面ABCD，
所以AC⊥平面DBNM，
又AC⊆平面ACN，所以平面ACN⊥平面BDMN．（6分）
（2）解：因为四边形DBNM是正方形，所以MD⊥BD．
因为平面ABCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM＝BD，MD⊆平面DBNM，
所以MD⊥平面ABCD．
在正方形ABCD中，AB＝2，所以AD＝DC＝2，DB＝，
所以在正方形DBNM中，MD＝DB＝，
所以．（12分）
【点评】本题主要考查面面垂直的判定，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
21．已知动点P与平面上点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和等于2．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y＝kx﹣与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义，以及椭圆的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，联立直线与椭圆方程可得，，再结合韦达定理和弦长公式，即可求解．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），
∵|PA|+|PB|＝2＞2＝|AB|，
∴由椭圆定义可知，点P轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∴a＝，c＝1，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴动点P的轨迹方程C为．（6分）
（2）将直线l：y＝kx﹣代入椭圆方程得，，
Δ＝，即k2＞1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
，，
∴|MN|＝
＝
＝，
∴17k4﹣32k2﹣57＝0，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝．（12分）
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
22．已知直线l：y＝x+m与椭圆C：x2+2y2＝3交于不同的两点A，B．
（1）若直线l与圆x2+y2＝1相切，求m的值；
（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求m的值．
【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，可得出关于实数m的等式，即可得m的值；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，由Δ＞0求出m的取值范围，列出韦达定理，由条件可得出＝0，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题得圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
则＝1，解得m＝±；（4分）
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得3x²+4mx+2m²﹣3＝0，
Δ＝16m²﹣12（2m²﹣3）＝4（3﹣m²）＞0，解得﹣＜m＜，
由韦达定理可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
因为以线段AB为直径的圆过坐标原点O，
则＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m²＝+m²＝0，解得m＝±，符合题意．（12分）
【点评】本题考查直线与圆的位置关系求参数，椭圆中向量点乘问题，韦达定理的应用，属于中档题．