高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制教案及反思

4-1.1.1任意角（2）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]

      S={β|β=α+k×3600，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲

例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：

（1）600；    （2）-210；    （3）363014，

解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是  

600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.

（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z}  S中适合-3600≤β<7200的元素是

-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990

说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。

（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是

363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，

说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2．写出终边在下列位置的角的集合

(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。

解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }

（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }

同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z }………………（1）

S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }

={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }  …………………（2）

师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

S= S1∪S2 ={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }

={β|β=900+n×1800，n∈Z } 

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z },{β|β=k×900，k∈Z }

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }

推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1       若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？

师：是第二象限角，如何表示？

解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×3600<<1800+k×3600（k∈Z）

∴ 1800+k×7200<2<3600+k×7200

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。

（2）∵，

处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：

当时，，是第一象限的角；

当时，，是第三象限的角。

∴是第一或第三象限的角。

说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）

进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结

1．  要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2．  要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如

θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、课堂练习

练习2 若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.

练习3 若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。  （200，1400，2600）

（备用题）练习4  如右图，写出阴影部分（包括边界）的角

的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。

 （{α| 1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）

探究活动

　　经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？

五、作业

A组:

1．与 终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：

（1）－265       （2）－1000o       （3）－843o10’     （4）3900o

B组

3．写出终边在x轴上的角的集合。

4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：

(1)60o  (2)－75o  (3) －824o30’  (4) 475o  (5) 90o  (6) 270o  (7) 180o  (8) 0o 

C组：若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？