人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数学案

1.1　任意角和弧度制

1.1.1　任意角

问题导学

一、角的概念的推广

活动与探究1

下列命题：

①第一象限角是锐角；

②锐角都是第一象限角；

③第一象限角一定不是负角；

④第二象限角大于第一象限角；

⑤第二象限角是钝角；

⑥三角形内角是第一、第二象限的角；

⑦向左转体1周形成的角为360°.

其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．

迁移与应用

下列命题正确的是(　　)

A．－330°与330°都是第四象限角

B．45°角是按顺时针方向旋转形成的

C．钝角都是第二象限角

D．小于90°的角都是锐角

正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是看终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确理解象限角的概念．

二、终边相同的角的问题

活动与探究2

已知角α＝2 012°.

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.

迁移与应用

写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中适合不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.

在给定范围内确定角的问题，有两种处理思路：一种思路是不解不等式，根据条件k∈Z，采用观察和特殊值检验的方法求出k的值，求解时需注意不要漏解；另一种思路是解不等式，然后再根据k∈Z求出k的值．

三、区间角的表示

活动与探究3

若α是第三象限角，判断2α，和180°－α是第几象限角．

迁移与应用

如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．

1．写区间角的集合时应严格按照写区间角的三个步骤进行，注意集合表述的严谨性，应特别检查所写集合能否包含问题所要表达的全部角．

2．区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：

(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；

(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k倍的周期，即得区间角的集合．

当堂检测

1．下列叙述正确的是(　　)

A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．第四象限角一定是负角

D．钝角比第三象限角小

2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边(　　)

A．在x轴的非负半轴上

B．在x轴的非正半轴上

C．在y轴的非正半轴上

D．在y轴的非负半轴上

3．与405°角终边相同的角是(　　)

A．k·360°－45°，k∈Z

B．k·360°±405°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈Z

D．k·180°＋45°，k∈Z

4．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M__________N．(填“”或“”)

5．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是__________，是第__________象限角．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．一条射线　端点　旋转

预习交流1　提示：角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°，它应包括任意大小的正角、负角和零角．

3．第几象限

4．α＋k·360°，k∈Z　整数个周角

预习交流2　提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．

5．{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}

{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}

{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}

{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}

6．{x|x＝k·360°，k∈Z}　{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}　{x|x＝k·180°，k∈Z}　{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}　{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}　{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}　{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　②⑦　解析：①390°是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确；

②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确；

③－330°是第一象限角，但它是负角，所以③不正确；

④120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以④不正确；

⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确；

⑥90°角可作三角形内角，但它既不是第一象限角，也不是第二象限角，所以⑥不正确；

⑦向左转体为逆时针旋转，所以转体1周形成的角为360°，所以⑦正确．

迁移与应用　C　解析：对于A，－330°是第一象限角，故A排除；

对于B,45°角是正角，按逆时针旋转形成的，故排除B；

对于D，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，故排除D．

综上，此题应选C．

活动与探究2　思路分析：确定β的值，求出α所在的象限；列出关于k的不等式，求出k的取值，得到角θ的大小．

解：(1)用2 012°除以360°商为5，

余数为212°．∴k＝5．

∴α＝5×360°＋212°(β＝212°)．

∴α为第三象限角．

(2)与2 012°终边相同的角为k·360°＋2 012°(k∈Z)，

令－360°≤k·360°＋2 012°＜720°(k∈Z)，

解得－≤k＜－(k∈Z)，

∴k＝－6，－5，－4．

将k的值代入k·360°＋2 012°中，得角θ的值为－148°，212°，572°．

迁移与应用　解：与15°角终边相同的角的集合为

{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}．

由－1 080°≤15°＋k·360°＜720°，得到－1 095°≤k·360°＜705°．又k∈Z，∴k可取－3，－2，－1,0,1．

相应的β的值分别为－1 065°，－705°，－345°，15°，375°．

∴满足条件的角β的度数有

－1 065°，－705°，－345°，15°，375°．

活动与探究3　思路分析：将第三象限的角α表示为180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，从而可以分别得出2α，和180°－α的角的表示形式，再根据象限角的定义来作出判断．

解：∵α是第三象限角，

∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，

(1)360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°＜2α＜180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，

则2α是第一、二象限角，或终边在y轴的非负半轴上的角．

(2)60°＋k·120°＜＜90°＋k·120°(k∈Z)，

当k＝3m(m∈Z)时，为第一象限角；

当k＝3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角；

当k＝3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角．

所以为第一或第三或第四象限角．

(3)－270°＋k·360°＜－α＜－180°＋k·360°(k∈Z)，

则－90°＋k·360°＜180°－α＜k·360°(k∈Z)．

所以180°－α是第四象限角．

迁移与应用　解：在图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足45°≤α≤210°，故满足条件的角的集合为{α|45°＋k·360°≤α≤210°＋k·360°，k∈Z}．

在图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角α满足0°≤α≤45°或315°≤α≤360°，转化为－180°～180°范围内，

终边落在指定区域的角α满足－45°≤α≤45°，

故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．

【当堂检测】

1．B　解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；280°角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错．

2．A　解析：由已知可得α＝β＋k·360°(k∈Z)，

∴α－β＝k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．

3．C　解析：∵405°＝360°＋45°，是与45°角终边相同的角，即与405°角终边相同的角是k·360°＋45°，故选C．

4．　解析：M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，

∵k∈Z，∴k＋2∈Z且2k＋1为奇数，∴MN．

5．80°　一　解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，

∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．