人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试教案设计

第二十八教时

教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性

目的：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

过程：一、复习：y=sinx   y=cosx   (xR)的图象

二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性

1．（观察图象） 1正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx, cos(2k+x)=cosx也可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

2．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

     2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

     3T往往是多值的（如y=sinx   2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2  （一般称为周期）

  三、y=sinωx, y=cosωx的最小正周期的确定

   例一 求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+)  2 y=cos2x  3 y=3sin(+)

解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz   即：f (2+z)=f (z)

f [(x+2)+ ]=f (x+)    ∴周期T=2

2令z=2x  ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f (x+)=f (x)    ∴T=

         3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)

=3sin()=f (x+4)         ∴T=4                  

小结：形如y=Asin(ωx+φ)  (A,ω,φ为常数,A0, xR)  周期T=

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

例二 P54 例3

例三 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-)

  2 y=|sinx|       3 y=2sinxcosx+2cos2x-1

解：1 y1=sin(2x+)  最小正周期T1=

      y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2  ∴T=2

          2   T=  作图

注意小结这两种类型的解题规律

          3 y=sin2x+cos2x       ∴T=

四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期

五、作业：P56 练习5、6      P58习题4．8    3

《精编》P86  20、21

补充：求下列函数的最小正周期：

1．  y=2cos()-3sin()

2．  y=-cos(3x+)+sin(4x-)

3．  y=|sin(2x+)|

4．  y=cossin+1-2sin2